miniatura|dereita|200px|Cando dispoñemos os números naturais nunha espiral e destacamos os números primos, observamos un intrigante e non totalmente explicado patrón, chamado espiral de Ulam A teoría de números é a rama da matemática pura que se ocupaba inicialmente do estudo dos números enteiros e dos problemas aritméticos relacionados coa multiplicación e a división de enteiros. É chamada ás veces "A Raíña das Matemáticas" debido ó seu papel fundacional da disciplina.
Os teóricos dos números estudan os números primos así como as propiedades de obxectos construídos a partir dos enteiros (como os números racionais) ou definidos como xeneralización destes (como os números enteiros alxébricos).
A simplicidade dos enunciados e a fácil accesibilidade á maioría dos problemas da teoría de números fan que sexa moi atractiva. En contraposición, outra peculiaridade é a dificultade na resolución dos problemas. Por exemplo, hai máis de 2.300 anos Euclides conxecturou que hai infinitos números primos xemelgos, conxectura que aínda está sen demostrar.
Problemas concretos da teoría de números chegaron a ser fonte de importantes ramas independentes da matemática. Entre estas están: a teoría de números primos e as teorías relacionadas da función zeta e das series de Dirichlet, a teoría das ecuacións diofantianas, a teoría aditiva dos números, a teoría métrica dos números, a teoría dos números alxébricos e transcendentes, a teoría alxébrica dos números, a teoría das aproximacións diofantianas, a teoría probabilística dos números, e a xeometría dos números. Algúns exemplos son: unha fonte da teoría analítica dos números foi o problema da distribución dos números primos en series de números naturais e o problema de representar números naturais como sumas de termos dunha forma particular. A resolución de ecuacións diofantianas, e en particular o Último Teorema de Fermat, foi a orixe da teoría alxébrica dos números. O problema de construír un círculo de área unitaria só co uso da regra sen graduar e o compás (Cuadratura do círculo) levou a cuestións acerca da natureza aritmética do número π e, en consecuencia, á creación da teoría de números alxébricos e transcendentes.
Todas as ramas e teorías numéricas mencionadas están interconectadas, complementándose e enriquecéndose mutuamente.
Teoría de números ou Aritmética A Teoría de números foi chamada "Aritmética" ata que a comezos do século XX foi impoñéndose a denominación actualXa en 1921 T.L. Heath tivo que explicar: "Por aritmética Platón entendía, non aritmética no noso sentido, senón a ciencia que considera os números en si mesmos, noutras palabras, o que nos entendemos por Teoría de números" ()..
A xente común usa a palabra "aritmética" para referirse ás "operacións elementais". Tamén adquiriu outros significados en lóxica matemática (e.g. aritmética de Peano), e na ciencia da computación (e.g. punto decimal flotante, que en inglés dise floating point arithmetic).
O uso do termo "aritmética" para referirse á "teoría de números" volveu gañar terreo na segunda metade do século XX, en gran parte debido á influencia dos matemáticos franceses.Véxase, e.g. En 1952, Harold Davenport aínda tiña que aclarar que a Teoría de números era para el a "Aritmética Superior". No limiar do libro An Introduction to the Theory of Numbers (1938), os seus autores Hardy e Wright escribiron: "Nunha ocasión suxerimos cambia-lo título por An introduction to arithmetic, máis novelesco e, en certos aspectos, máis apropiado; mais foi sinalado que este título podería levar a confusión acerca do contido do libro" ()..
Entre tanto, ese termo aínda aparece nos nomes de obxectos matemáticos relacionados como as funcións aritméticas, a aritmética de curvas elípticas ou o teorema fundamental da aritmética. En particular, prefírese o adxectivo "aritmético" a "teórico dos números".
Historia Orixes Albores da aritmética dereita|miniatura|A táboa Plimpton 322. O primeiro descubrimento histórico de natureza aritmética é un fragmento dunha táboa de arxila, a coñecida como Plimpton 322, achada en Larsa (Mesopotamia) e datada no arredor do 1800 a.C. Contén unha listaxe de ternas pitagóricas, ou sexa, enteiros a, b, c tales que a2+b2=c2. A táboa ten moitas ternas e con números bastante elevados, o que fai pensar que non foron obtidos pola forza bruta. Na parte superior da primeira columna pódese ler: O takiltum da diagonal que foi subtraído tal que a largura.... O significado de termo talkitum non está claro. Robson prefire a interpretación "Ao cadrado da diagonal se lle quita 1 de tal xeito que aparece o lado curto..." .
A disposición da táboa suxire. Outras fontes dan a fórmula moderna . Van der Waerden dá tanto a fórmula moderna coma a que equivale á forma preferida por Robson . que foi construída por medio do que equivale, na linguaxe moderna, á identidade:
que está implícita nos exercicios rutineiros dos antigos babilonios. Se foi utilizado algún outro métodoNeugebauer discute a táboa en detalle e menciona de paso o Método de Euclides en notación moderna ., as ternas foran inicialmente construídas e despois reordenadas por , presumibelmente para un uso real como unha táboa de consulta con vistas á súa aplicación práctica.
Non sabemos cales poden ter sido esas aplicacións, ou se podería ter habido algunha pois se, por exemplo, fose para a astronomía, esta floreceu entre os babilonios máis tarde. Tense suxerido, pola contra, que a táboa fose unha fonte de exemplos numéricos para problemas escolares. Hai controversia ao respecto. O artigo de Robson está escrito dun xeito polémico coa idea de que "quizais [...] hai que baixar a Plimpton 322 do seu pedestal" ; ao mesmo tempo, establece a conclusión de que [...] a cuestión "como foi construída a táboa?" non ten a mesma resposta que a pregunta "para que tipo de problemas foi feita a táboa?" A primeira pode respostarse máis satisfactoriamente por pares recíprocos, como foi primeiramente suxerido hai médio século, e a segunda por algunha clase de problemas de triángulos rectángulos . Robson apunta a idea de que o escriba que gravou a Plimpton 322 (quen tiña que "traballar para toda a vida", e non tería pertencido a unha "acomodada clase media") podería estar motivado pola súa propia "curiosidade ociosa" a falta dun "mercado para as novas matemáticas" ..
Mentres que a teoría de números babilonia, ou o que sobreviviu da súa matemática que se pode chamar así, consiste neste simple e notable fragmento, a álxebra deste pobo (no sentido que a palabra "álxebra" ten no ensino secundario) estaba excepcionalmente desenvolvida. As últimas fontes neoplatónicasIámblico na "Vida de Pitágoras", citado en . Véxase tamén a "Vida de Pitágoras" de Porfirio en . Van der Waerden sostén que Tales coñecía as matemáticas babilonias. sosteñen que Pitágoras aprendeu matemáticas dos babilonios. Fontes máis temperásHeródoto (II. 81) e Isócrates ("Busiris" 28), citados en . Sobre Tales, véxase Eudemo ap. Proclo, 65.7, citado en . Proclo usaba unha obra, hoxe perdida, de Eudemo de Rodas, o "Catálogo de Xeómetras". Ver tamén a introdución de sobre a fiabilidade de Proclo. sosteñen que Tales e Pitágoras estudaron en Exipto.
Euclides IX 21—34 é moi probabelmente pitagórico, citado en .; é un material moi simple ("impar por par é par", "se un número impar divide a un número par entón tamén divide á metade deste"), pero é todo o que se necesita para probar que é irracional. Os místicos pitagóricos dábanlle moita importancia aos pares e impares. O descubrimento de que é irracional atribúese aos pitagóricos temperás (anteriores a Teodoro)Platón en Teeteto, citado en : "Teodoro escribiu para nós algo acerca das raíces, coma as raíces de tres ou cinco, amosando que son inconmensurábeis pola unidade".. A revelación (en termos modernos) de que hai números irracionais, semella ter provocada a primeira crise fundacional na historia das matemáticas; a súa proba ou a súa divulgación atribúese ás veces a Hipaso, quen foi expulsado ou apartado da seita pitagórica. É só aquí onde podemos comezar a falar dunha división clara e concisa entre números (enteiros e racionais, os suxeitos da aritmética) e lonxitudes (números reais, sexan racionais ou non).
A tradición pitagórica fala tamén dos chamados números poligonais ou dos números figurados. Mentres que os números cadrados, cúbicos etc., son vistos agora coma máis naturais cós triangulares, pentagonais etc., o estudo das sumas dos números triangulares e pentagonais acreditou unha morea de froitos durante os inicios da idade moderna (do século XVII ao XIX).
Coñecemos material aritmético impreciso do antigo Exipto ou as fontes védicas, aínda que hai algunha álxebra en ambas. O teorema chinés do resto aparece como un exercicioSun Zi, Suan Ching, capítulo 3, problema 26. Pódese consultar en , que contén unha tradución completa do Suan Ching. Véxase tamén a discusión en . na obra de Sun Zi, Suan Ching, tamén coñecida como A matemática clásica de Sun Zi, escrita en data descoñecida entre os anos 220 e 473A data do texto foi acoutada entre os anos 220–420 (Yan Dunjie) ou entre os anos 280–473 (Wang Ling) a través de evidencias internas (sistemas de taxación asumidos no texto). Véxase .. Hai un importante paso glosado na solución de Sun ZiCapítulo 3, problema 26 do Suan Ching de Sun Zi en : Agora hai un número descoñecido de obxectos. Se os xuntamos por tríos, sobran dúas; se os agrupamos de cinco en cinco, sobran 3; e se as contamos de sete en sete, sobran 2. Achar o número de obxectos. Resposta: 23. Método: Se facemos tríos e sobran dúas, poñamos 140. Se contamos de cinco en cinco e sobran 3, poñamos 63. Se os xuntamos de sete en sete e hai un resto de 2, poñamos 30. Sumemos os tres para obter 233, e restándo 210 temos a resposta. Se contamos por tríos e hai un resto de 1, poñamos 70. Se contamos de cinco en cinco e hai un resto de 1, poñamos 21. Se contamos de sete en sete e hai un resto de 1, poñamos 15. Cando [un número] excede de 106, o resultado obtense restándolle 105.: é o problema que foi resolto posteriormente por Aryabhata mediante o método que el chamou kuttaka (véxase embaixo).
Hai tamén algún misticismo numérico nas matemáticas chinesasVéxase, e.g., o capítulo 3, problema 36 do Suan Ching de Sun Zi en : Agora hai unha muller preñada cuxa idade é 29. Se o período de xestación é de 9 meses, determinar o sexo da criatura. Resposta: Masculino. Método: Poñamos 49, sumémoslle o período de xestación e restémoslle a idade. Do resto, tomemos 1 representando o ceo, 2 a terra, 3 o home, 4 as catro estacións, 5 as cinco fases, 6 os seis tons das gaitas, 7 as sete estrelas [do Carro], 8 os oito ventos, e 9 as nove divisións [de China baixo Yu o Grande]. Se o resto é impar, [o sexo] é masculino e se o resto é impar, [o sexo] é feminino. Este é o derradeiro problema no, de feito, tratado de Sun Zi., pero, a diferenza dos pitagóricos, semella que non levan a ningures. Ao igual cos números perfectos dos pitagóricos,os cadrados máxicos chineses pasaron da superstición ao entretemento.
Grecia clásica e o inicio do período helenístico Á parte duns poucos fragmentos, as matemáticas da Grecia clásica son coñecidas a través dos relatos de contemporáneos non matemáticos ou polos traballos dos inicios do período helenístico. No caso da teoría de números isto significa, na maior parte, Platón e Euclides, respectivamente.