miniatura|300px|dereita| Varias traxectorias dun oscilador harmónico consonte as leis de Newton da mecánica clásica (A-B), e consonte a ecuación de Schrödinger da mecánica cuántica (C-H). En (A-B), a partícula (representada coma unha bola atada a un resorte que salta) oscilando dun lado a outro. En (C-H), amósanse algunhas solucións da ecuación de Schrödinger, sendo o eixo horizontal a posición, é o eixo vertical a parte real (azul) ou a parte imaxinaria (vermello) da función de onda. (C,D,E,F), pero non (G,H), están en estados estacionarios. (H) está nun estado coherente, un estado cuántico que se achega á traxectoria clásica.
O oscilador harmónico cuántico é o análogo cuántico do oscilador harmónico clásico. É un dos modelos máis importantes de sistemas mecánicos cuánticos, pois como sucede na mecánica clásica, toda unha ampla gama de situacións físicas pode ser reducida a un mesmo modelo, de xeito exacto ou aproximado. En particular, un sistema nun estado próximo a unha configuración de equilibrio pode ser con frecuencia descrito en termos dun ou máis osciladores harmónicos. Ademais, é un dos poucos sistemas mecanocuánticos con solución coñecida exacta e sinxela.
A seguinte discusión do oscilador harmónico cuántico está relacionada co artigo sobre formulación matemática da mecánica cuántica.
Oscilador harmónico unidimensional
Hamiltoniano e autoestados da enerxía dereita|miniatura|Representacións da función de onda para os primeiros seis autoestados, n = 0 a 7. a eixe horizontal amosa a posición x. Os gráficos non están normalizados
dereita|miniatura|Densidades de probabilidade |ψn(x)|² para os autoestados dunha partícula encerrada, comezando co estado de menor enerxía (n = 0) abaixo e incrementando en enerxía cara enriba. O eixe horizontal amosa a posición x, e as cores máis brillantes representan altas probabilidades de densidade. No problema do oscilador harmónico unidimensional, unha partícula de masa m é suxeito a un potencial V(x) = (1/2)mω2 x2. O Hamiltoniano da partícula é:
onde x é o operador posición, e p é o operador momento . O primeiro termo representa a enerxía cinética da partícula, e o segundo termo representa o potencial enerxético no que se atopa. Para atopar os niveis de enerxía e os correspondentes estados enerxéticos, debemos solucionar a ecuación de Schrödinger independente do tempo,
.
Podemos solucionar a ecuación diferencial na base de coordenadas correspondente usando o método da serie de potencias. Resulta haber unha familia de solucións,
As primeiras seis solucións (n = 0 a 5) amósanse á dereita. As funcións son os Polinomios de Hermite:
Non deben ser confundidas co Hamiltoniano, asemade notado como H. Os correspondentes niveis enerxéticos son
.
Este espectro enerxético é significativo por dúas razóns. En primeiro lugar, as enerxías están 'cuantizadas', polo que só poden tomar valores discretos de veces 1/2, 3/2, 5/2, e así sucesivamente. Este feito é compartido con moitos sistemas mecanocuánticos (a seguinte sección de operadores de escada faremos unha exame máis detallada deste fenómeno). en segundo termo, a enerxía máis baixa que se pode acadar non é cero, senón , a chamada 'enerxía do estado fundamental' ou enerxía do punto cero. No estado máis baixo, o fundamental, de acordo coa mecánica cuántica, un oscilador non realiza oscilacións e a súa enerxía cinética media é positiva. Non é obvio o que isto significa, pois de xeito común o cero da enerxía non ten un significado físico como cantidade (representa un punto acordado previamente como cero nunha determinada escala), senón que son as diferenzas de enerxía as que o teñen. Porén, o estado fundamental de enerxía ten moitas implicacións, en particular na gravidade cuántica.
A notar que a densidade de probabilidade do estado fundamental está concentrada na orixe. Isto significa que a partícula pasa a maioría do seu tempo no fondo do potencial, como se pode esperar para un estado de pouca enerxía. Ó incrementar a enerxía, a densidade de probabilidade váis concentrando nos 'puntos de retorno clásicos', nos que o estado enerxético coincide coa enerxía potencial. Isto é consistente co oscilador harmónico clásico, no que a partícula pasa a maioría do seu tempo (e polo tanto pode ser atopada alí con máis probabilidade que noutro lugar) nos puntos de retorno, nos que é máis lenta. Así se satisfai o Principio de correspondencia.
Método de operadores de escada A solución de desenvolvemento en series é dereita pero tediosa. O método do "operador de escada", debido a Paul Dirac, permítenos extraer os autovalores (valores propios) da enerxía sen resolver de xeito dereito a ecuación diferencial. Con todo, é xeneralizable de xeito doado a problemas máis complicados, en particular na teoría cuántica de campos. Seguindo esta aproximación, definimos os operadores a e o seu adxunto a†
O operador a non é Hermítico pois el e o seu adxunto a† non son iguais.
Os operadores a e a† teñen as seguintes propiedades:
Derivando a forma de a†, usamos o feito de que os operadores x e p, que representan observables, son Hermíticos. Estes operadores observables poden expresarse como combinación lineal dos operadores de escada como
Os operadores x e p obedecen a seguinte identidade, coñecida como relación de conmutación canónica:
.
Os corchetes son un sistema de notación usual, coñecido como conmutador, definido como
.
Usando o anterior, podemos probar as identidades
.
Agora, denota un autoestado enerxético con enerxía E. O produto interno dun 'ket' consigo mesmo debe ser non negativo, é dicir,
.
Expresando a†a en termos do hamiltoniano:
,
co que . A notar que cando () é o 'ket' cero (i.e. un ket con lonxitude cero), a desigualdade cumprida, co que . De aí pode avaliarse que existe un estrado que satisfai esta condición; é o estado fundamental (n = 0) dado na sección precedente.
Usando as identidades anteriores, podemos amosar que as relacións de commutación de a e a† con H son:
.
Así, se () é un ket diferente de cero,
.
de xeito semellante, podemos amosar que
.
Noutras verbas, a actúa sobre un autoestado de enerxía E para producir, por medio dunha constante multiplicativa, outro autoestado de enerxía , e a† actúa sobre un autoestado de enerxía E para producir un autoestado de enerxía . debido a ilo, a chámase "operador de baixada" e a† "operador de subida". Ambos operadores en conxunto son chamados "operadores de escada". Na teoría cuántica de campos, a e a† son alternativamente chamados operadores "aniquilación" e "creación" pois 'destrúen' e 'crean' partículas, de xeito correspondente co noso cuanto de enerxía.
Dado ou autoestado enerxético, podemos actuar sobre el co operador baixada, a, para producir outro autoestado con , menor enerxía. Por aplicación repetida deste operador, parece que poidamos producir autoestados enerxéticos por debaixo de E = −∞. Non embargantes, isto pode contradicir o noso requirimento anterior de que . Polo tanto, debe haber un estado fundamental (considerado como estado de mínima altura ou 'estado terra', en inglés 'ground-state') autoestado da enerxía, que etiquetaremos (non confundir co ket cero), tal que
.
Nese caso, aplicacións continaudas do operador baixada producirán kets cero, en troques de autoestados enerxéticos adicionais. Polo tanto, temos amosado que
Finalmente, actuando sobre co opetrador subida e multiplicando por factores de normalización apropiados, podemos producir un conxunto infinito de autoestados de enerxía , tales que
o que coincide co espectro enerxético que foi amosado na sección precedente.
Lonxitude natural e escalas de enerxía O oscilador harmónico cuántico posúe escadas naturais apra lonxitude e enerxía, podendo usarse para simplificar o problema. Estas escadas poden ser atopadas por redimensionalización. O resultado é que se medimos a enerxía en unidades de e a distancia en unidades de , entón, a ecuación de Schrödinger aparece como:
,
e as autofuncións e autovalores da enerxía,
.
Para evitar confusión, non adoitaremos estas unidades naturais neste artigo. Non embargantes, son manexadas a miúdo cando se realzian cálculos.
Exemplo: moléculas diatómicas
Nas moléculas diatómicas, a frecuencia natural pode ser atopada por:
onde é a frecuencia angular, k é a constante de forza de ligazón, e é a masa reducida.
Oscilador harmónico n-dimensional O oscilador harmónico unidimensional é xeralizable a N dimensións, onde N = 1, 2, 3, ... . nunha dimensión, a posición da partícula é especificada por unha única coordenada, x. En N dimensións, é substituída por N coordenadas de posición, que etiquetamos x1, ..., xN. de xeito correspondente a cada coordenada de posición existe un momento; etiquetamos estes como p1, ..., pN. As relacións de conmutación canónicas entre estes operadores son
.
O Hamiltoniano para este sistema é
.
Como ilustra a forma do hamiltoniano, o oscilador harmónico N-dimensional é exactamente anánlogo a N osciladores harmónicos unidimensionais independentes coa mesma masa e constante elástica. Nese caso, as cantidades x1, ..., xN referirán as posicións de cada unha das N partículas. É unha feliz propiedade do potencial en r2, que permite que a enerxía potencial sexa separada en termos, de xeito dependente dunha coordenada ó tempo.
esta observación facilita a solución. para un conxunto particular de números cuánticos {n} as autofuncións da enerxía para o oscilador N-dimensional son expresadas en termos das autofuncións unidimensionais como:
No método dos operadores de escada, definimos N conxuntos de operadores de escada,
.
Por un procedemento análogo ó do caso unidimensional, podemos amosar que cada un dos operadores ai e a†i sobe e baixa a enerxía nunha cantidade ℏω respectivamente. O hamiltoniano é
Este hamiltoniano é invariante baixo o grupo de simetría dinámica U(N) (o grupo unitario en N dimensións), definido por
onde é un elemento na representación matricial de U(N).
Os niveis enerxéticos do sistema son
. onde ni é tal que i vai de 0 ó número de bosóns en modo i.
Como no caso unidimensional, a enerxía está cuantizada. O estado fundamental ten unha enerxía N veces a unidimensional, como poderiamos esperar usando a analoxía para N osciladores independentes unidimensionais. Hai unha diferenza máis notable: no caso unidimensional, cada nivel enerxético corresponde a un único estado cuántico. En N-dimensións, a excepción do estado fundamental, os niveis de enerxía están 'dexerados', é dicir, hai vairos estados coa mesma enerxía.
A dexeración pode ser calculada con relativa facilidade, como por exemplo se consideramos o caso tridimensional: Definimo n = n1 + n2 + n3. todos os estados co mesmo n terán a mesma enerxía. Para un n dado, escollemos un particular n1. Entón n2 + n3 = n − n1. Hai n − n1 + 1 posibles agrupamentos {n2, n3}. n2 poden tomar os valores 0 a n − n1, e por cada n2 o valor de n3 está fixado. O grao de dexeración é polo tanto:
Fórmula para calqeura N e n [sendo gn a dimensión da potencia nth simétrica irreducible do grupo unitario U(N)]:
O caso especial N = 3, dado anteriormente, séguese de xeito directo desta ecuación xeral.
Problemas relacionados O oscilador harmónico cuántico pode ser estendido en moitas vías interesantes. discutiremos de xeito breve dúas das extensións máis importantes, o oscilador anharmónico e os osciladores harmónicos acoplados.
Oscilador anharmónico Como foi dito na introdución, un sistema 'achegado' ó mínimo dalgún potencial pode ser tratado como un oscilador harmónico. Nesta aproximación, podemos considerar a enerxía potencial en función dunha Serie de Taylor arredor do mínimo e desprezar termos de orde 3 ou maior (isto é, considerar de xeito aproximado a función enerxía potencial como cuadrática). Unha volta estudados os sistemas nesta aproximación, quereremos investigar as correccións debidas ós termos descartados, en particular os de terceiro orde.