miniatura|300x300px| Un conxunto M (en azul) con elementos maiorantes (en vermello e verde) e o seu maiorante mínimo ou supremo (só o verde) En matemáticas, particularmente na teoría da orde, un elemento maiorante dun subconxunto dalgún conxunto preordenado é un elemento de que é maior ou igual que todos os elementos de . Do mesmo modo un elemento minorante de defínese como un elemento de que é menor ou igual a todos os elementos de . Un conxunto cun maiorante (respectivamente, minorante) dise que está limitado superiormente ou maiorizado (respectivamente limitado inferiormente ou minorizado) por ese límite.

Entre tódolos maiorantes do conxunto que pertencen a , denominamos supremo de ao menor de todos estes maiorantes. Se o supremo pertence tamén a denominase máximo de . No diagrama de exemplo se o elemento verde pertenecese a sería máximo, se non pertence daquela é supremo.

Simetricamente para os minorantes distinguimos ínfimo de mínimo.

Exemplos Por exemplo, 4 e son minorantes para o conxunto (como un subconxunto dos enteiros ou dos números reais, etc.). Por outra banda, non é un elemento minorante para xa que non é menor que todos os elementos de . e outros números x tales que sería maiorantes para S .

O conxunto ten o número tanto coma maiorante coma minorante.

Cada subconxunto finito non baleiro dun conxunto totalmente ordenado ten elemento maiorantes e elemento minorante.

Límites das funcións As definicións pódense xeneralizar a funcións e mesmo a conxuntos de funcións.

Dada unha función f co dominio e un conxunto preordenado como codominio, un elemento de é un límite superior de f se para cada en . O maiorante chámase óptimo se a igualdade cúmprese para polo menos un valor de .

Do mesmo xeito, unha función definida no dominio e que teña o mesmo codominio é maiorante de f, se para cada en . Ademais, dise que a función é maiorante dun conxunto de funcións, se é maiorante de cada función dese conxunto.

A noción de límite inferior para (conxuntos de) funcións defínese de xeito análogo, substituíndo ≥ por ≤.

Límites estritos Un maiorante dise que é un maiorante mínimo ou límite superior mínimo ou supremo se ningún valor menor é maiorante. Do mesmo xeito, dise que un minorante ou límite inferior ou ínfimo, se ningún valor maior é un minorante.

Notas

Véxase tamén Outros artigos Elemento maior e menor Ínfimo e supremo Elemento maximal e minimal

Categoría:Teoría da orde