miniatura| Animación que demostra a terna pitagórica máis pequena, . Unha terna pitagórica consta de tres números enteiros positivos , e , de tal forma que . Tal terna escríbese habitualmente , un exemplo coñecido é . Se é unha terna pitagórica, entón tamén o é para calquera número enteiro positivo . Un triángulo cuxos lados son unha terna pitagórica é un triángulo rectángulo e chámase triángulo pitagórico.
Unha terna pitagórica primitiva é aquela na que , e son coprimos (é dicir, non teñen un divisor común maior que 1). Por exemplo, é unha terna pitagórica primitiva mentres que non o é.
Procurar solucións enteiras da ecuación é unha ecuación diofantiana. Así, as ternas pitagóricas están entre as solucións máis antigas coñecidas dunha ecuación diofantiana non linear.
Exemplos Hai 16 ternas pitagóricas primitivas de números por debaixo de 100: (3, 4, 5) (5, 12, 13) (8, 15, 17) (7, 24, 25) (20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53) (11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73) (13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97)
Xerando unha terna
miniatura|300x300px| Unha gráfica de ternas xerada pola fórmula de Euclides traza parte do cono . Unha constante ou traza parte dunha parábola no cono. A fórmula de Euclides é unha fórmula fundamental para xerar ternas pitagóricas dado un par arbitrario de números enteiros e con . A fórmula indica que os números enteiros
forman unha terna pitagórica. Por exemplo, dado
xera a terna primitiva (36,77,85):
A terna xerada pola fórmula de Euclides é primitiva se e só se e son coprimos e exactamente un deles é par.
Malia xerar todas as ternas primitivas, a fórmula de Euclides non produce todas as ternas; por exemplo, (9, 12, 15) non se pode xerar usando os números enteiros e . Pódense conseguir todas incluíndo un parámetro:
Escoller e entre certas secuencias enteiras dá resultados interesantes. Por exemplo, se e son números de Pell consecutivos, e diferirán en 1.
Propiedades elementais das ternas pitagóricas primitivas As propiedades dunha terna pitagórica primitiva con (sen especificar cal de ou é par e cal é impar) inclúen:
é sempre un cadrado perfecto..
Como moito un entre , e é un cadrado.Para a non existencia de solucións cando and son ambos os dous cadrados, orixinalmente probado por Fermat, ver . A area dun triángulo pitagórico non pode ser un cadrado nin dúas veces un cadrado dun enteiro . Exactamente un de ou é divisible por 2 (é par), e a hipotenusa é sempre impar. Exactamente un de ou é divisible por 3, mais nunca . Exactamente un de ou é divisible por 4, mais nunca . Exactamente un de , ou é divisible por 5. Calquera número impar da forma , onde é un número enteiro e , pode ser a pata impar dunha terna pitagórica primitiva. Porén, só os números pares divisibles por 4 poden ser o cateto par dunha terna pitagórica primitiva. Isto débese a que a fórmula de Euclides para o cateto par dada enriba é e unha de entre ou debe ser igual. A hipotenusa (que é sempre impar) é a suma de dous cadrados. Isto require que os seus factores sexan todos da forma . Por tanto, c é da forma . A secuencia de números posibles da hipotenusa pode verse en . A área é un número divisible por 6.
Non hai triángulos pitagóricos nos que a hipotenusa e un cateto sexan catetos doutro triángulo pitagórico; esta é unha das formas equivalentes do teorema do triángulo rectángulo de Fermat. Cada triángulo pitagórico primitivo ten unha proporción de área, , a semiperímetro cadrado, , que é única para si e vén dada por
Ningún triángulo pitagórico primitivo ten unha altitude enteira a partir da hipotenusa. Ningún dos ángulos agudos dun triángulo pitagórico pode ser un número racional en graos,(isto ven dado polo teorema de Niven.)
Xeometría da fórmula de Euclides
Puntos racionais na circunferencia unitaria dereita|miniatura| 3,4,5 mapea no punto x,y (4/5,3/5) na círcunferencia unitaria A fórmula de Euclides para unha terna pitagórica
pódese entender en termos da xeometría dos puntos racionais na círcunferencia unitaria .
De feito, un punto do plano cartesiano con coordenadas pertence á circunferencia unitaria se . O punto é racional se e son números racionais, é dicir, se hai coprimos enteiros tal que
Ao multiplicar os dous membros por , pódese ver que os puntos racionais da circunferencia están en correspondencia un a un coas ternas pitagóricas primitivas.
O circunferencia unitaria tamén se pode definir mediante unha ecuación paramétrica
A fórmula de Euclides para as ternas pitagóricas e a relación inversa significan que, agás para , un punto na circunferencia é racional se e só se o valor correspondente de é un número racional. Teña en conta que tamén é a tanxente da metade do ángulo que está oposto ao lado do triángulo de lonxitude .
Aproximación estereográfica dereita|miniatura| Proxección estereográfica da circunferencia unitaria sobre o eixo . Dado un punto na circunferencia unitaria, traza unha recta dende ata o punto (polo norte). O punto ′ onde a recta corta co eixo é a proxección estereográfica de . Inversamente, comezando cun punto ′ no eixo , e trazando unha liña de ′ a , a proxección estereográfica inversa é o punto onde a recta corta a circunferencia unitaria. Hai unha correspondencia entre os puntos da circunferencia unitaria con coordenadas racionais e as ternas pitagóricas primitivas. Neste punto, as fórmulas de Euclides pódense derivar mediante métodos de trigonometría ou de forma equivalente usando a proxección estereográfica.
Para o enfoque estereográfico, supoña que ′ é un punto no eixo con coordenadas racionais
Daquela, pódese demostrar mediante álxebra básica que o punto ten coordenadas
que é racional.
En termos de xeometría alxébrica, a variedade alxébrica de puntos racionais na circunferencia unitaria é biracional á recta afín sobre os números racionais. A circunferencia unitaria chámase así unha curva racional, e é este feito o que permite unha parametrización explícita dos puntos (número racional) sobre ela por medio de funcións racionais.
Espinors e o grupo modular As ternas pitagóricas tamén se poden codificar nunha matriz cadrada da forma
Unha matriz desta forma é simétrica con determinante
que é cero precisamente cando é unha terna pitagórica. Se corresponde a unha terna pitagórica, entón como matriz debe ter rango 1.
Dado que é simétrico, dun resultado en álxebra linear dedúcese que hai un vector columna tal que o produto externocúmprese. Dado que ξ e -ξ producen a mesma terna pitagórica, o vector ξ pódese considerar un espinor (para o grupo de Lorentz SO(1, 2)). En termos abstractos, a fórmula de Euclides significa que cada terna pitagórica primitiva pode escribirse como o produto exterior consigo mesmo dun espinor con entradas enteiras, como en (1).
O grupo modular Γ é o conxunto de matrices 2×2 con coeficientes enteiros
con determinante igual a un: . O grupo modular actúa sobre a colección de todos os espinors enteiros. Ademais, o grupo é transitivo na colección de espinors enteiros con entradas coprimas. Pois se ten coeficientes coprimos, entón
onde se seleccionan e (mediante o algoritmo de Euclides) para que cumpran .
Ao actuar sobre o espinor ξ en (1), a acción de Γ pasa a ser unha acción sobre as ternas pitagóricas, sempre que se permitan ternas con compoñentes posiblemente negativas. Así, se é unha matriz en , entóndá lugar a unha acción sobre a matriz en (1).
Alternativamente, podemos restrinxir a acción a aqueles valores de e para os que é impar e é par. Sexa o subgrupo Γ(2) de Γ o kernel do homomorfismo de grupos
onde é o grupo linear especial sobre o corpo finito de enteiros módulo 2. Entón Γ(2) é o grupo de transformacións unimodulares que conservan a paridade de cada entrada. Así, se a primeira entrada de ξ é impar e a segunda é par, entón o mesmo ocorre con para todo . De feito, baixo a acción (2), o grupo Γ(2) actúa transitivamente sobre a colección das ternas pitagóricas primitivas .
Así temos que o grupo Γ(2) é o grupo libre cuxos xeradores son as matrices
En consecuencia, cada terna pitagórica primitiva pode obterse dun xeito único como produto das copias das matrices e .
Relación cos enteiros gaussianos Se consideramos o cadrado dun número enteiro gaussiano, obtemos a seguinte interpretación directa da fórmula de Euclides como a representación dun cadrado perfecto dun enteiro gaussiano.
Usando os feitos de que os enteiros gaussianos son un dominio euclidiano e que para un enteiro gaussiano p, é sempre un cadrado, é posible demostrar que unha terna pitagórica corresponde ao cadrado dun primo enteiro gaussiano se a hipotenusa é un número primo.
Se o número enteiro gaussiano non é primo, entón é o produto de dous enteiros gaussianos p e q con e enteiros. Dado que as magnitudes se multiplican nos enteiros gaussianos, o produto debe ser , que cando se eleva ao cadrado para atopar unha terna pitagórica debe ser composto. O contrapositivo completa a proba.
Ecuacións relacionadas Ecuación de Jacobi–Madden
é equivalente á terna especial Pitagórica,
Hai un número infinito de solucións a esta ecuación xa que a resolución das variables implica unha curva elíptica. Algunhas solucións pequenas,
Sumas iguais de dous cadrados
Un xeito de xerar solucións a é parametrizar a, b, c, d en termos de enteiros m, n, p, q como segue:
Teorema do círculo de Descartes
Para o caso do Teorema do círculo de Descartes onde todas as variables son cadrados,
Euler demostrou que isto é equivalente a tres ternas pitagóricas simultáneas,
Tamén hai un número infinito de solucións, e para o caso especial cando , a ecuación simplifícase a:
con solucións pequenas como e pódense resolver como formas cadráticas binarias.
Ternas do triángulo de Herón
Un triángulo de Herón defínese habitualmente como aquel con lados enteiros cuxa área tamén é un número enteiro. As lonxitudes dos lados deste triángulo forman unha terna de Herón con . Toda terna pitagórica é unha terna de Herón, porque na terna pitagórica polo menos un dos catetos , debe ser par, polo que a área ab/2 é un número enteiro. Non toda terna de Herón é unha terna pitagórica, como mostra o exemplo de área 24.
Se é unha terna de Herón, tamén o é onde é calquera número enteiro positivo; a súa área será o número enteiro que é veces a área enteira do triángulo . A terna de Herón é primitiva cando a, b, c son coprimos en conxunto,(non é necesario que sexan coprimos por parellas). Aquí vemos algunhas das ternas de Herón primitivas máis simples que non son ternas pitagóricas:
(4, 13, 15) con área 24 (3, 25, 26) con área 36 (7, 15, 20) con área 42 (6, 25, 29) con área 60 (11, 13, 20) con área 66
Pola fórmula de Herón, a condición adicional para que unha terna de números enteiros positivos con sexa terna de Herón é que
ou equivalentemente
sexa un cadrado perfecto distinto de cero divisíbel por 16.
Notas
Véxase tamén Bibliografía
Outros artigos Terna de Eisenstein Triángulo de Herón Primo Pitagórico Ligazóns externas Clifford Algebras and Euclid's Parameterization of Pythagorean triples Curious Consequences of a Miscopied Quadratic Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems Generating Pythagorean Triples Using Arithmetic Progressions
Interactive Calculator for Pythagorean Triples The negative Pell equation and Pythagorean triples Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials
Pythagorean Triples and the Unit Circle, chap. 2–3, in "A Friendly Introduction to Number Theory" by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, Pythagorean Triples at cut-the-knot Interactive Applet showing unit circle relationships to Pythagorean Triples Pythagorean Triplets The Remarkable Incircle of a Triangle Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry