Na teoría de grupos, unha rama das matemáticas, dado un grupo baixo unha operación binaria ∗, un subconxunto de chámase subgrupo de se tamén forma un grupo baixo a operación ∗. Máis precisamente, é un subgrupo de se a restrición de ∗ a é unha operación de grupo en . Isto denótase tamén como , lido como " é un subgrupo de ".
O subgrupo trivial de calquera grupo é o subgrupo {e} que consiste só no elemento identidade.
Un subgrupo propio dun grupo é un subgrupo que é un subconxunto propio de (é dicir, ). Isto represéntase por , lido como " é un subgrupo propio de ". Algúns autores tamén exclúen que o grupo trivial sexa propio (é dicir, }).
Comprobación de subgrupos Temos que é un grupo e é un subconxunto de e a operación de grupo de escríbese multiplicativamente.
Daquela é un subgrupo de se e só se non é baleiro e é pechado baixo produtos e inversos. Pechado baixo produtos significa que para cada e en , o produto está en . Pechado baixo inversos significa que para cada en , o inverso está en . Estas dúas condicións pódense combinar nunha soa, que para cada e en , o elemento está en . Cando é finito, a proba pódese simplificar: é un subgrupo se e só se non é baleiro e é pechado baixo produtos. Estas condicións implican que cada elemento de xera un subgrupo cíclico finito de , digamos de orde , e entón o inverso de é .
miniatura| é o grupo que son os enteiros mod 8 mediante adición. O subgrupo contén só o 0 e o 4, e é isomorfo a Hai catro clases de á esquerda: en si, , e (escribindo con notación aditiva xa que este é un grupo aditivo). Entre todos dividen todo o grupo en conxuntos de igual tamaño e non superpostos. O índice é 4.
Cosets e teorema de Lagrange Dado un subgrupo e algún en , definimos o coset (ou conxunto lateral, ou coclase) esquerdo Como é invertible, o mapa dado por é unha bixección. Alén diso, cada elemento de está contido precisamente nun coset esquerdo de ; as clases secundarias da esquerda son as clases de equivalencia correspondentes á relación de equivalencia se e só se está en . O número de clases esquerdas de chámase índice de en e o denotamos por .
O teorema de Lagrange afirma que para un grupo finito e un subgrupo ,
onde e denotan as ordes (ou cardinalidades, número de elementos) de e , respectivamente. En particular, a orde de cada subgrupo de (e a orde de cada elemento de ) debe ser un divisor de .Ver unha proba didáctica neste video.
Os cosets pola dereita defínense de xeito análogo:
Se para cada en , entón dise que é un subgrupo normal.
Exemplo: subgrupos de Z8 Sexa o grupo cíclico cuxos elementos son
e cuxa operación de grupo é a suma módulo 8. A súa táboa de Cayley é +04261537004261537440625173226403751662047315115372640551736204337514062773150426 Este grupo ten dous subgrupos non triviais: e , onde tamén é un subgrupo de . O grupo é cíclico, e tamén o son os seus subgrupos. En xeral, os subgrupos de grupos cíclicos tamén son cíclicos.
Exemplo: Subgrupos de S4 é o Grupo simétrico cuxos elementos corresponden ás permutacións de 4 elementos. A continuación móstranse todos os seus subgrupos, ordenados por cardinalidades. Cada grupo (agás os de cardinalidade 1 e 2) está representado pola súa Táboa de Cayley.
24 elementos Como en todos os grupo, é un subgrupo de si mesmo (non é subgrupo propio). esquerda|miniatura|595x595px| Grupo simétrico
12 elementos O grupo alternante contén só as permutacións pares. É un dos dous subgrupos normais propios non triviais de . (O outro é o seu subgrupo de Klein). esquerda|miniatura|323x323px|Grupo alternante Subgrupos:70x70px60x60px60x60px60x60px60x60px
8 elementos miniatura|233x233px|Grupo diédrico de orde 8 Subgrupos:70x70px 70x70px 70x70px miniatura|233x233px| Grupo diédrico de orde 8 Subgrupos:70x70px 70x70px 70x70px miniatura|233x233px| Grupo diédrico de orde 8Subgrupos:70x70px70x70px70x70px
6 elementos miniatura|187x187px|Grupo simétrico Subgrupo:60x60pxminiatura|187x187px| Grupo simétrico Subgrupo:60x60pxminiatura|187x187px| Grupo simétrico Subgrupo:60x60pxminiatura|187x187px| Grupo simétrico Subgrupo:60x60px
4 elementos miniatura|142x142px| Grupo de Kleinminiatura|142x142px|Grupo de Kleinminiatura|142x142px| Grupo de Kleinminiatura|142x142px| Grupo de Klein (subgrupo normal) miniatura|142x142px|Grupo cíclico miniatura|142x142px| Grupo cíclico miniatura|142x142px| Grupo cíclico
3 elementos miniatura|120x120px|Grupo cíclico miniatura|120x120px| Grupo cíclico miniatura|120x120px| Grupo cíclico miniatura|120x120px| Grupo cíclico
2 elementos Cada permutación de orde 2 xera un subgrupo . Estas son as permutacións que só teñen 2 ciclos:
Hai 6 transposicións cun 2 ciclos. (fondo verde) E 3 permutacións con dous ciclos. (fondo branco, números en grosa)
1 elemento O subgrupo trivial é o único subgrupo de orde 1.
Outros exemplos
Os enteiros pares forman un subgrupo do anel dos enteiros a suma de dous enteiros pares é par e o negativo dun enteiro par é par. Un ideal nun anel é un subgrupo do grupo aditivo de . Un subespazo linear dun espazo vectorial é un subgrupo do grupo aditivo de vectores. Nun grupo abeliano, os elementos de orde finita forman un subgrupo chamado subgrupo de torsión.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía . . .
Outros artigos Grupo (matemáticas).
Categoría:Álxebra abstracta Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas Categoría:Teoría de grupos