Unha relación binaria R é o subconxunto dos elementos do produto cartesiano que cumpren a condición:
Clasificación das relacións binarias
No esquema pódese ver algunhas estruturas alxébricas ou subtipos de relación binaria. Empregaremos este esquema para ver estes casos.En primeiro lugar diferenciamos as relacións binarias homoxéneas, das heteroxéneas. Nas primeiras, a relación binaria establécese entre os elementos dun único conxunto, mentres que nas segundas establécense relacións entre dous conxuntos distintos. Unha relación homoxénea pode ser tratada como heteroxénea cos mesmos subtipos, mais non ao contrario.
Relación homoxénea Unha relación binaria R é homoxénea se os dous conxuntos implicados son o mesmo:
Dado que e son o mesmo conxunto, pode representarse como:
ou tamén como
Relación heteroxénea Unha relación binaria R é heteroxénea se os dous conxuntos implicados non son iguais:
Conceptos previos
Par ordenado Se temos os conxuntos e descríbese o par ordenado que cumpre e .
Represéntase como:
Produto cartesiano
Definidos os conxuntos:
O produto cartesiano descríbese na táboa anterior.
A relación binaria fica definida como
Operacións con relacións binarias Unión Se R e S son relacións binarias sobre os conxuntos X e Y, entón é a relación de unión de R e S sobre X e Y.
Por exemplo, é a unión de < e =.
Intersección Se R e S son relacións binarias sobre os conxuntos X e Y entón é a relación de intersección de R e S sobre X e Y.
Por exemplo, a relación "é divisible por 6" é a intersección das relacións "é divisible por 3" e "é divisible por 2".
Composición Se R é unha relación binaria sobre os conxuntos X e Y, e S é unha relación binaria sobre os conxuntos Y e Z entón (tamén denotado como ) é a relación de composición de R e S sobre X e Z.
A orde de R e S na notación usada aquí concorda coa orde de notación estándar para composición de funcións. Por exemplo, a composición (é o pai de)(é a nai de) produce (é o avó materno de).
Inversa
Se R é unha relación binaria sobre os conxuntos X e Y, entón é a relación inversa,Garrett Birkhoff & Thomas Bartee (1970) Álxebra aplicada moderna, páxina 35, McGraw-Hill Mary P. Dolciani (1962) Modern Algebra: Structure and Method, Libro 2, páxina 339, Houghton Mifflin de R sobre Y e X. Tamén se pode representar como .
Por exemplo, é a inversa de si mesmo, e e son o inverso do outro.
Complementario Se R é unha relación binaria sobre os conxuntos X e Y entón (tamén denotada por ou ) é a relación complementaria de R sobre X e Y.
Por exemplo, e son complementarios mutuos.
O complemento da relación inversa é a inversa do complemento:
Restrición Se R é unha relación homoxénea binaria sobre un conxunto X e S é un subconxunto de X entón é a relación de restrición de R a S sobre X.
Relación binaria homoxénea Unha relación binaria estabelécese entre os elementos dun único conxunto.
Exemplo Se temos un único conxunto , podemos definir unha relación binaria R como un conxunto de pares ordenados:
ou ,
center|200x200px
Se o elemento inicial está relacionado co elemento final, non implica necesariamente que haxa unha relación desde o elemento final ata o elemento inicial. Por iso é importante que sexan pares ordenados.
Imos representar agora esa mesma relación binaria como un subconxunto do produto cartesiano: d(a, d)(b, d)(c, d)(d, d) c(a, c)(b, c)(c, c)(d, c) b(a, b)(b, b)(c, b)(d, b)a(a, a)(b, a)(c, a)(d, a)A×Aabcd
O subconxunto R da relación binaria son os pares en letra grosa e o podemos representar tamén como:
Propiedades da relación binaria homoxénea
Propiedade reflexiva
Dicimos que unha relación ten a propiedade reflexiva, se todo elemento está relacionado consigo mesmo.
Isto é, para todo elemento e pertencente ao conxunto A, o par ordenado (e,e) pertence á relación binaria R.
Propiedade antirreflexiva Unha relación binaria ten a propiedade antirreflexiva, ou irreflexiva, se ningún elemento do conxunto está relacionado consigo mesmo:
isto é, non existe ningún elemento a no conxunto A que cumpra que: (a,a) pertence a R.
Propiedade simétrica
Dicimos que unha relación binaria ten a propiedade simétrica cando se se cumpre que un par ordenado (a,b) pertence á relación entón o par (b,a) tamén pertence a esa relación:
Propiedade antisimétrica
Dise que unha relación binaria ten a propiedade antisimétrica se os pares ordenados (a,b) e (b,a) pertencen á relación, entón a = b:
Isto é, non hai ningún par de elementos distintos relacionados entre si en ambos os sentidos.
Propiedade transitiva
Unha relación binaria ten a propiedade transitiva cando, dados os elementos a, b, c do conxunto, se a está relacionado con b e b está relacionado con c, entón a está relacionado con c:
Propiedade intransitiva Unha relación binaria ten a propiedade intransitiva cando, dados os elementos a, b, c do conxunto, se a está relacionado con b e b está relacionado con c, entón a non está relacionado con c:
Propiedade total
Dicimos que unha relación binaria é total: se para todo elemento do conxunto: a, b; ou a está relacionado con b ou b está relacionado con a, isto é, o grafo da relación é conexo:
Relacións homoxéneas particulares Algunhas relacións homoxéneas particulares sobre un conxunto X (con elementos arbitrarios , ) son: Relación baleira ; isto é, non acontece nunca; Relación universal ; isto é, sempre acontece (están relacionados todos con todos); Relación identidade (ver tamén Función identidade) }; isto é, cúmprese se e só se .
Clases das relacións binarias homoxéneas
Relación reflexiva As relacións reflexivas son as definidas do seguinte modo:
O caso máis claro de propiedade reflexiva é o de igualdade matemática.
Vemos un exemplo: center|200x200px Temos un conxunto A, formado polos seguintes elementos:
E temos unha relación R entre os elementos do conxunto, definida así:
Pódese ver que os pares ordenados que teñen os seus dous termos iguais pertencen á relación definida:
Daquela a relación R é reflexiva.
Relación non reflexiva Se non todos os elementos están relacionados consigo mesmos a relación é non reflexiva.
Temos dous tipos:
Se algún elemento, mais non todos, é reflexivo a relación é arreflexiva Se ningún elemento é reflexivo a relación é antirreflexiva (ou irreflexiva)
center|200x200px
Podemos ver que:
Relación de dependencia
Unha relación binaria é unha relación de dependencia se é reflexiva e simétrica:
Por exemplo se temos o conxunto dos números naturais, e definimos a distáncia D entre dous números, como o valor absoluto da súa diferenza. ,
e dicimos que dous números están próximos se
Daquela para a relación de proximidade dentro dos números naturais é unha relación de dependencia, posto que:
1. Cúmprese a propiedade reflexiva posto que:
2. Cúmprese a propiedade simétrica:
3. Non se cumpre a propiedade transitiva, dado que:
que a distancia entre a e b sexa como máximo D e que a distancia entre b e c non supere D, non implica necesariamente que a distancia entre a e c non sexa maior que D.
Esta relación de dependencia entre os números pola súa distancia non é unha clase de equivalencia, como se verá máis adiante.
Conxunto preordenado
Unha relación binaria define un conxunto preordenado se é reflexiva e transitiva.
Relación de equivalencia
Unha relación binaria é unha relación de equivalencia se é reflexiva, simétrica e transitiva:
Unha relación de equivalencia define dentro do conxunto A o que se denominan, clases de equivalencia, unha clase de equivalencia é cada un dos subconxuntos nos que a relación de equivalencia divide ao conxunto A, entre eles son disxuntos, e a unión de todos eles é o conxunto A, vexamos un exemplo.
A congruencia módulo n dos números naturais (residuo da división enteira entre n), vemos que é unha relación de equivalencia. Por exemplo,
,
,
.
Formalizamos as condicións:
é reflexiva:
é simétrica:
é transitiva
Conxunto parcialmente ordenado
Un conxunto A dise que está parcialmente ordenado respecto a unha relación binaria R se a relación R é reflexiva, transitiva e antisimétrica:
Tomando un conxunto A, formado, por exemplo, polos elementos:
E o seu conxunto de partes
Imos chamar a cada un destes subconxuntos:
E tomando dous destes subconxuntos dicimos que están relacionados por pertenza se o primeiro é subconxunto do segundo:
A relación pertenza entre os conxuntos de partes de A, é un conxunto parcialmente ordenado, ao ser:
Reflexiva
Transitiva:
Antisimetrica:
Por tanto o conxunto de partes de A, respecto da relación binaria pertenza é un conxunto parcialmente ordenado.
Esta relación non é total dado que:
Que se denominan elementos ou pares non comparables. Os pares de conxuntos non comparables son: dereita|200x200px
Vendo o diagrama, os conxuntos que se poden alcanzar seguindo o sentido das frechas denomínanse comparables e determinan a estrutura da orde parcial.
Conxunto limitado Un conxunto de números reais está limitado se e só se ten un límite superior e outro inferior. Esta definición é extensible a subconxuntos de calquera conxunto parcialmente ordenado. Hai que ter en conta que este concepto máis xeral de dimensionamento non se corresponde cunha noción de tamaño. Hai distintos tipos de límites e os seus elementos relacionados en función do tipo de orde, parcial ou total: Elemento maior e menor Ínfimo e supremo Elemento maiorante e minorante Límite superior e límite inferior
Conxunto con orde total e limitado
Se temos un conxunto A e unha relación binaria definida entre os elementos de A, que expresaremos e a relación represéntase:
Dicimos que se definiu unha orde total no conxunto A, se a relación cumpre as propiedades:
1. Reflexiva. 2. Antisimétrica. 3. Transitiva. 4. É, ademais, unha relación total, é dicir, cúmprese que todos os elementos dun conxunto con orde total son comparables:
Dado un conxunto A no que se definiu unha relación binaria , sendo un conxunto totalmente ordenado, o elemento y de A que cumpre:
Denomínase máximo e define un límite superior en A; o elemento máximo é único. Se o conxunto A e a relación binaria é unha orde total e ten máximo, entón é un conxunto con orde total e limitado superiormente.
Do mesmo xeito o elemento z de A que cumpre:
Denomínase mínimo e define un límite inferior en A; o elemento mínimo é único. Se o conxunto A e a relación binaria é unha orde total e ten mínimo, entón é un conxunto con orde total e limitada inferiormente.
Un conxunto con orde total dicimos simplemente que é limitado, se está limitado superior e inferiormente.
Relación heteroxénea Unha relación binaria entre dous conxuntos A e B, denomínase heteroxénea cando A é distinto de B:
O conxunto A é o conxunto inicial (dominio).
O conxunto B é o conxunto final (codominio).
O subconxunto de A dos elementos a que forman parte dalgunha relación R (a,b) é o conxunto orixe.
O subconxunto de B dos elementos b que forman parte dalgunha relación R (a,b) é o conxunto imaxe.
Conceptos previos A condición de existencia de imaxe garantiza que tomando un elemento calquera a de A ten polo menos unha imaxe b en B.
A condición de existencia de orixe garantiza que todo elemento b de B ten polo menos unha orixe a en A.
A condición de unicidade de imaxe garantiza que os elementos a de A que están relacionados con algún b de B están relacionados con un único elemento b de B, é dicir:
A condición de unicidade de orixe di que os elementos b de B que están relacionados con algún a de A están relacionados só con un único elemento a de A, é dicir:
Tipos de relacións binarias heteroxéneas
Partindo das características das relacións binarias heteroxéneas, podemos diferenciar os seguintes casos.
Correspondencia unívoca
Unha correspondencia é unívoca se cumpre a condición de unicidade de imaxe:
Esta condición é necesaria e suficiente para que unha correspondencia sexa considerada unívoca.
Correspondencia biunívoca