En matemáticas, as desigualdades QM-AM-GM-HM, tamén coñecidas como cadea de desigualdades medias, establecen a relación entre a media harmónica (HM), a media xeométrica (GM), a media aritmética (AM) e a media cadrática (QM) (tamén coñecida como raíz cadrada media). Supoñamos que son números reais positivos. Daquela
Estas desigualdades aparecen a miúdo en concursos de matemáticas e teñen aplicacións en moitos campos da ciencia.
Proba Hai tres desigualdades entre medias para demostrar. Existen varios métodos para demostrar as desigualdades, incluíndo a indución matemática, a desigualdade de Cauchy-Schwarz, os multiplicadores de Lagrange e a desigualdade de Jensen. Para outras probas de que GM ≤ AM, consulte o artigo sobre a desigualdade AM-GM (desigualdade da media aritmética e a media xeométrica).
Desigualdade AM-QM A partir da desigualdade de Cauchy-Schwarz en números reais, estabelecendo un vector cos valores , temos:
polo tanto . Para os positivos a raíz cadrada deste dá a desigualdade.
Desigualdade HM-GM O recíproco da media harmónica é a media aritmética dos recíprocos , e supera pola desigualdade AM-GM. implica a desigualdade:
O caso n=2 miniatura| O semicírculo usado para visualizar as desigualdades
para todos os
que se pode visualizar nun semicírculo cuxo diámetro é [AB] e centro D.
Supoña AC=x1 e BC=x2. Constrúa perpendiculares a [AB] en D e C respectivamente. Una [CE] e [DF] e constrúa ademais unha perpendicular [CG] a [DF] en G. Daquela, a lonxitude de GF pódese calcular como a media harmónica, CF como a media xeométrica, DE como a media aritmética e CE como a media cadrática. As desigualdades danse logo facilmente do teorema de Pitágoras. centro|miniatura|675x675px| Comparación de valores medios harmónicos, xeométricos, aritméticos, cadráticos e outros valores medios de dous números reais positivos e
Exemplo Para inferir a orde correcta, as catro expresións pódense avaliar con dous números positivos.
Para e en particular, isto resulta en .
Notas
Véxase tamén
Outros artigos Media xeneralizada. Desigualdade AM-GM. Ligazóns externas The HM-GM-AM-QM Inequalities Useful inequalities cheat sheet meter "means" no lado dereito da páxina 1
Categoría:Álxebra Categoría:Desigualdades