miniatura| Unha pirámide cunha lonxitude de lado 5 contén 35 esferas. As capas son os primeiros números triangulares. Un número tetraédrico, ou número piramidal triangular, é un número figurado que representa un tetraedro, unha pirámide triangular que ten triángulos equiláteros nas catro caras . O ésimo número tetraédrico, , é a suma dos primeiros números triangulares, é dicir,
Os números tetraédricos son:
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220,...
Fórmula miniatura|Os números Tetraédricos aparecendo no triángulo de Pascal A fórmula para o ésimo número tetraédrico está representada polo 3º factorial ascendente de dividido polo factorial de 3:
Os números tetraédricos tamén se poden representar como coeficientes binomiais :
Ao representarse desta maneira, é fácil ver que os números tetraédricos pódense atopar na cuarta posición dende a esquerda (ou a dereita, por simetría) no triángulo de Pascal .
Probas da fórmula Sabemos que o n-ésimo número triangular vén dado por:
Empregando indución :
Caso para
Supoñendo que sexa certo para , facemos o paso indutivo para
Esta proba pode facerse de forma alternativa co algoritmo de Gosper .
Relación recursiva Como comentamos anteriormente, os números tetraédricos derivan directamente dos triangulares, polo que nace esta relación entre estes:
A ecuación convértese en
Substituíndo por na ecuación
Por ende, o o número tetraédrico cumpre que:
Xeneralización O patrón atopado para os números triangulares e para números tetraédricos pódese xeneralizar. Isto leva á fórmula:
Interpretación xeométrica A interpretación xeométrica vén de representar tetraedros mediante o uso de esferas ou calquera outro obxecto. Por exemplo, podemos comezar a partir do triángulo das bólas de billar coas que se comeza o xogo, son 15 bólas, o quinto número triangular, se imos amoreando máis bólas ata completar o tetraedro, en total empregaremos 35 bólas o quinto número tetraédrico.
Propiedades
, o número n-ésimo número piramidal cadrado . , suma dos cadrados dos impares. , suma dos cadrados dos pares. A. J. Meyl provou en 1878 que solo 3 números tetraédricos son tamén cadrados perfectos:
. Sir Frederick Pollock fixo unha conxectura de que todo número enteiro positivo, pódese escribir como suma de 5 números tetraédricos. O único número tetraédrico que tamén é número triangular cadrado é 1 (Beukers, 1988), é o único que tamén é un cubo perfecto é 1. A suma infinita dos recíprocos dos números tetraédricos é , pódese calcular empregando series telescópicas:
A paridade dos números tetraédricos segue a secuencia, impar-par-par-par. Unha observación:
Os números que son á vez tetraédricos e triangulares, cumplen a ecuación:
miniatura| O terceiro número tetraédrico é igual ao cuarto número triangular xa que o n -ésimo número k -simple é igual ao k -ésimo número n -símplex debido á simetría do triángulo de Pascal, e as súas diagonais son números simples; do mesmo xeito, o quinto número tetraédrico (35) é igual ao cuarto número de pentácoron, e así por diante
Os únicos números que son tanto tetraédricos como triangulares son :
é a suma dos produtos p × q cando (p, q) son pares ordenados e p + q = n + 1 O número tetraédrico máis grande da forma para enteiros a e b é 8436.
Notas
Véxase tamén Ligazóns externas
Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.
Categoría:Teoría de números