En matemáticas, o sumatorio é a suma dunha secuencia de números, chamadas sumandos; o resultado é a súa suma ou total. Ademais dos números, tamén se poden sumar outros tipos de valores: funcións, vectores, matrices, polinomios e, en xeral, elementos de calquera tipo de obxectos matemáticos sobre os que se define unha operación denotada como "+".
Os sumatorios de secuencias infinitas chámanse series. Implican o concepto de límite, e non se consideran neste artigo.
Para sumas longas e sumatorios de lonxitude variable é un problema común atopar formas pechadas para o resultado. Por exemplo,
Notación miniatura|74x74px| O símbolo do sumatorio A notación matemática usa a letra grega grega maiúscula sigma para representar de forma compacta a suma de moitos termos similares, por exemplo:
.
Onde é o índice da suma; é unha variable indexada que representa cada termo da suma; é o índice inferior da suma e é o índice superior da suma. Por tanto no exemplo de enriba a suma irá desde o elemento número ata o elmento número indo o índice aumentando dun en un.
Isto lese como "suma de , de igual a ata igual a ".
Un exemplo que mostra a suma dalgúns cadrados consecutivos:
E outro exemplo é a suma dos primeiros números da secuencia de Fibonacci
Ás veces o índice e os límites dos índices do sumatorio omítense da definición do sumatorio se o contexto é suficientemente claro. Isto aplícase especialmente cando o índice vai de 1 a n. Por exemplo, pódese escribir que:
Outro xeito é poñer a condición do índice toda no lado inferior, por exemplo:
.
Tamén se pode expresar como o percorrido polos elementos dun conxunto:
é a suma de sobre todos os elementos no conxunto .
é a suma de sobre todos os números enteiros positivos que dividen .
Tamén hai formas de xeneralizar o uso de moitos signos sigma. Por exemplo,
é o mesmo que
Unha notación similar úsase para o produto dunha secuencia, usando , que é unha forma ampliada da letra maiúscula grega pi.
Un sumatorio alterno de sumas e restas podemos definilo como:
Cálculo de diferenzas finitas Dada unha función que se define sobre os enteiros do intervalo , cúmprese a seguinte ecuación:
Esta coñécese como serie telescópica e é o análogo do teorema fundamental do cálculo no cálculo de diferenzas finitas, que afirma que:
onde
é a derivada de .
Un exemplo de aplicación da ecuación anterior é o seguinte:
Usando o teorema binomial, isto pódese reescribir como:
A fórmula anterior úsase máis habitualmente para inverter o operador diferenza , definido por:
onde é unha función definida nos enteiros non negativos. Así, dada tal función , o problema é calcular a antidiferenza de , unha función tal que . É dicir, Esta función defínese ata a adición dunha constante, e pódese escoller como Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics, Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, .
Non sempre hai unha expresión en forma pechada para tal suma, mais a fórmula de Faulhaber proporciona unha forma pechada no caso en que e, por linearidade, para cada función polinómica de .
Aproximación por integrais definidas Moitas aproximacións deste tipo pódense obter mediante a seguinte conexión entre sumas e integrais, que vale para calquera función crecente f:
e para calquera función decrecente f:
Para aproximacións máis xerais, consulte a fórmula de Euler-Maclaurin.
Para sumatorios nos que o sumando está dado (ou pode ser interpolado) por unha función integrable do índice, o sumatorio pode interpretarse como unha suma de Riemann que se produce na definición da integral definida correspondente. Polo tanto, pódese esperar que, por exemplo,
xa que o lado dereito é por definición o límite para do lado esquerdo. Porén, para unha suma dada n é fixo, non tende a infinito, e pouco se pode dicir sobre o erro na aproximación anterior sen presupostos adicionais sobre f: está claro que para funcións con oscilacións a grande escala a suma de Riemann pode estar arbitrariamente lonxe da integral de Riemann.
Identidades As fórmulas seguintes implican sumas finitas; para sumas infinitas ou sumas finitas de expresións que impliquen funcións trigonométricas ou outras funcións transcendentais, consulte a lista de series matemáticas.
Identidades xerais
(distributiva). (conmutativa e asociativa). (desprazamento do índice). (bixección dun conxunto finito nun conxunto , mudar o índice, xeneraliza a fórmula precedente). (subdividir unha suma, usando asociatividade). (outra variante da anterior). . . (conmutatividade e asociatividade). (outra aplicación de conmutatividade e asociatividade). (subdividir o sumatorio en índices pares e impares). (subdividir unha suma en partes pares e impares, para índices impares). (distributiva). (A distributividade permite a factorización). . . para calquera función de .
Potencias e logaritmo das progresións aritméticas
para todo que non depende de . . (Suma dos primeiros números naturais impares). (Suma dos primeiros números naturais pares). (A suma dos logaritmos é o logaritmo do produto). . (Teorema de Nicómaco)
Índice do sumatorio en expoñentes Nos seguintes sumatorios, asúmese que é diferente de 1.
(suma dunha progresión xeométrica). (caso especial para ). ( veces a derivada en relación a da progresión xeométrica).
(suma dunha secuencia aritmético-xeométrica)
Coeficientes binomiais e factoriais Existen moitas identidades con sumatorios que implican coeficientes binomiais. Algunhas das máis básicas son as seguintes.
Implicando o teorema do binomio
o teorema do binomio. caso especial onde . , o caso especial onde , que, para expresa a suma da distribución binomial. o valor en da derivada con respecto a do teorema do binomio. o valor en da antiderivada con respecto a do teorema do binomio.
Implicando números de permutación Nos seguintes sumatorios, é o número de -permutacións de .
, onde e denota a función chan.
Outros
Números harmónicos
(o -ésimo número harmónico ) (o número harmónico xeneralizado)
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Notación pi maiúscula. Sumatorio por partes
Categoría:Teoría de números Categoría:Símbolos matemáticos Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas