Táboa de Cayley para D4 que mostra os elementos do centro, {e, a2}, que conmutan con todos os outros elementos (isto pódese ver observando que todas as ocorrencias dun elemento central dado están dispostas simétricamente sobre a diagonal central ou observando que a fila e columna que comeza cun elemento central dado son transpostos entre si).∘ebaa2a3aba2ba3beebaa2a3aba2ba3bbbea3ba2baba3a2aaaaba2a3ea2ba3bba2a2a2ba3eaa3bbaba3a3a3beaa2baba2babababa3ba2bea3a2a2ba2ba2abba3baea3a3ba3ba3a2babba2ae

En álxebra abstracta, o centro dun grupo é o conxunto de elementos que conmutan con cada elemento de . Denomínase , do alemán Zentrum.

.

O centro é un subgrupo normal, , e tamén un subgrupo característico, pero non é necesariamente totalmente característico. O grupo cociente, , é isomorfo ao grupo do automorfismo interno, .

Un grupo é abeliano se e só se . No outro extremo, dise que un grupo é sen centro se é trivial; é dicir, consiste só no elemento identidade.

Os elementos do centro son elementos centrais.

Como subgrupo O centro de G é sempre un subgrupo de . En particular:

contén o elemento neutro de , porque conmuta con todos os elementos de , por definición: , onde é o elemento neutro; Se e están en , daquela tamén está , pola asociativa: para todo ; i.e., é pechado; Se está en , daquela tamén está pois, para todo en , conmuta con : .

A maiores, o centro de é sempre un subgrupo abeliano e normal de . Dado que todos os elementos de se conmutan, está pechado baixo conxugación.

Un homomorfismo de grupo pode non restrinxirse a un homomorfismo entre os seus centros. Os elementos da imaxe conmutan coa imaxe , mais non precisan conmutar con todo a non ser que sexa sobrexectivo. Así o mapeo do centro non é un functor entre as categorías Grp e Ab, xa que non induce un mapa de frechas.

Clases de conxugación e centralizadores Por definición, un elemento é central sempre que a súa clase de conxugación contén só o propio elemento; é dicir .

O centro é a intersección de todos os centralizadores de elementos de : Como os centralizadores son subgrupos, isto mostra de novo que o centro é un subgrupo.

Conxugación Considere o mapa , dende ata o grupo de automorfismos de definido por , onde é o automorfismo de definido por

.

A función, é un homomorfismo de grupos, e o seu kernel é precisamente o centro de , e a súa imaxe chámase grupo de automorfismo interno de , denotado . Polo primeiro teorema do isomorfismo obtemos:

.

O cokernel deste mapa é o grupo de automorfismos externos, e estes forman a secuencia exacta

.

Exemplos

O centro dun grupo abeliano, , é todo . O centro do grupo de Heisenberg, , , que son as matrices de forma:, é o conxunto de matrices da forma: . O centro dun grupo non abeliano simple é trivial. O centro do grupo diédrico, , é trivial para impar. Para par, o centro consiste do elemento identidade xunto cunha rotación de 180° do polígono. O centro do grupo de cuaternións, , é . O centro do grupo simétrico, , é trivial para . O centro do grupo linear xeral sobre un corpo , , é a colección de matrices diagonais, }. O centro do grupo ortogonal, é . O centro do grupo ortogonal especial, é o grupo completo cando , e cando n é par, e trivial cando n é impar. O centro do grupo unitario, é . Se o grupo cociente é cíclico, é abeliano (e por tanto , logo é trivial).

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos Centro (teoría de aneis). Subgrupo normal. Ligazóns externas

Categoría:Teoría de grupos Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas