En matemáticas, un subconxunto R dos enteiros chámase sistema reducido de residuos módulo n se:
mcd(r,n) = 1 para cada r en R , R contén φ(n) elementos, non hai dous elementos de R congruentes módulo n.
Aquí φ denota a función totiente de Euler .
Un sistema de residuos reducido módulo n pódese formar a partir dun sistema de residuos completo módulo n eliminando todos os números enteiros non primos relativos a n. Por exemplo, un sistema de residuos completo módulo 12 é {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Os chamados totativos 1, 5, 7 e 11 son os únicos enteiros deste conxunto que son relativamente primos con 12, polo que o correspondente sistema de residuos reducidos módulo 12 é {1, 5, 7, 11}. A cardinalidade deste conxunto pódese calcular coa función totiente: φ(12) = 4. Algúns outros sistemas de residuos reducidos módulo 12 son:
{13,17,19,23} {−11,−7,−5,−1} {−7,−13,13,31} {35,43,53,61}
Feitos
Todo número nun sistema reducido de residuos módulo n é un xerador para o grupo aditivo de enteiros módulo n. Un sistema reducido de residuos módulo n é un grupo baixo multiplicación módulo n. Se {r1, r2, ..., rφ(n)} é un sistema reducido de residuos módulo n con n > 2, entón . Se {r1, r2, ..., rφ(n)} é un sistema reducido de residuos módulo n, e a é un número enteiro tal que mcd(a, n) = 1, entón {ar1, ar2, ..., arφ(n)} tamén é un sistema de residuos reducido módulo n. Notas
Véxase tamén Bibliografía
Outros artigos Grupo multiplicativo de números enteiros módulo n Relación de congruencia Función totiente de Euler Máximo común divisor Aritmética modular Teoría de números
Ligazóns externas Residue systems at PlanetMath Reduced residue system at MathWorld
Categoría:Teoría de números