En matemáticas, unha serie é a suma dos termos dunha secuencia infinita de números. Máis precisamente, unha secuencia infinita define unha serie que se denota
A -ésima suma parcial é a suma dos primeiros termos da secuencia; é dicir,
Unha serie é converxente (ou converxe) se e só se a secuencia das súas sumas parciais tende a un límite; iso significa que, ao engadir un despois do outro, na orde dada polos índices, un obtén sumas parciais que se achegan cada vez máis a un número determinado. Máis precisamente, unha serie converxe, se e só se existe un número tal que para cada número positivo arbitrariamente pequeno , hai un enteiro (suficientemente grande). tal que para todos os ,
Se a serie é converxente, o número (necesariamente único) chámase suma da serie.
A mesma notación
úsase para a serie e, se é converxente, para a súa suma. Esta convención é semellante á que se usa para a suma: que denota a operación de sumar e , así como o resultado desta suma, que se chama suma de e .
Calquera serie que non sexa converxente dise que é diverxente ou diverxe.
Exemplos de series converxentes e diverxentes
Os inversos dos enteiros positivos producen unha serie diverxente (serie harmónica):
Alternar os signos dos inversos dos enteiros positivos produce unha serie converxente:
Os recíprocos dos números primos producen unha serie diverxente:
Os recíprocos dos números triangulares producen unha serie converxente:
Os recíprocos dos factoriais producen unha serie converxente (ver número e):
Os recíprocos dos números cadrados producen unha serie converxente (problema de Basilea):
Os recíprocos das potencias de 2 dan unha serie converxente:
Os recíprocos dos potencias de calquera n>1 producen unha serie converxente:
Alternar os signos dos recíprocos das potencias de 2 tamén produce unha serie converxente:
Alternar os signos dos recíprocos das potencias de calquera n>1 fai unha serie converxente:
Os recíprocos dos números de Fibonacci produce unha serie converxente (ver número áureo):
Tests de converxencia Existen varios métodos para determinar se unha serie converxe ou diverxe. dereita|miniatura|250x250px| Se a serie azul, , pódese probar que converxe, entón a serie menor, debe converxer. Por contraposición, se a serie vermella está demostrado que diverxe, entón tamén debe diverxer.
Se unha serie é converxente entón . Esta é unha condición necesaria mais non suficiente pois, por exemplo, a serie harmónica ten o termo enésimo con valor cero cando tende a infinito e porén é unha serie diverxente.
Test de comparación. Os termos da secuencia compáranse cos doutra secuencia . Se, para todo n, , e converxe, entón tamén o fai
No entanto, se, para todo n, , e diverxe, entón tamén o fai
Test da razón (ou ratio). Supón que para todo n, non é cero. Supoñamos que existe tal que
Se r < 1, entón a serie é absolutamente converxente. Se a serie diverxe. Se a proba da razón non é concluínte e a serie pode converxer ou diverxer.
Test de raíz ou proba de raíz enésima. Supoña que os termos da secuencia en cuestión non son negativos. Definimos r do seguinte xeito:
onde "lim sup" denota o límite superior.
Se r < 1, a serie converxe. Se a serie diverxe. Se a proba da raíz non é concluínte e a serie pode converxer ou diverxer.
Test da integral. A serie pódese comparar cunha integral para estabelecer a converxencia ou a diverxencia. Sexa unha función positiva e monótonamente decrecente. Se
entón a serie converxe. Mais se a integral diverxe, entón a serie tamén o fai.
Test de comparación de límites . Se , e o límite existe e non é cero, entón converxe se e só se converxe.
Test de serie alternada. Tamén coñecido como criterio de Leibniz. A tes de series alternadas indica que para unha serie alternada da forma , se é monótonamente decrecente, e ten un límite de 0 no infinito, entón a serie converxe.
Test de condensación de Cauchy. Se é unha secuencia decrecente monótona positiva, entón converxe se e só se converxe.
Test de Dirichlet. O test indica que se é unha secuencia monótona de números reais con e é unha secuencia de números reais ou números complexos con sumas parciais limitadas, entón a serie
converxe.
Test de Abel. Supoña que as seguintes afirmacións son verdadeiras:
é unha serie converxente, é unha secuencia monótona e está limitada.
Daquela tamén é converxente.
Converxencia condicional e absoluta Se a serie converxe daquela a serie é absolutamente converxente. Toda serie absolutamente converxente é converxente, pero a inversa non é verdade. Por exemplo, a serie de Maclaurin da función exponencial é absolutamente converxente para cada valor complexo da variabel.
Se a serie converxe pero a serie diverxe, entón a serie é condicionalmente converxente. Por exemplo, a serie de Maclaurin da función logaritmo é condicionalmente converxente para .
O teorema de Riemann das series afirma que se unha serie converxe condicionalmente, é posíbel reorganizar os termos da serie de tal xeito que a serie converxa a calquera valor, ou mesmo diverxa. O teorema de Agnew caracteriza os reordenamentos que preservan a converxencia para todas as series.
Converxencia uniforme Sexa unha secuencia de funcións. A serie dise que converxe uniformemente a f se a secuencia de sumas parciais definidas por
converxe uniformemente a f.
Hai un análogo do test de comparación para series infinitas de funcións chamada test M de Weierstrass.
Criterio de converxencia de Cauchy O criterio de converxencia de Cauchy estabelece que unha serie
converxe se e só se a secuencia de sumas parciais é unha secuencia de Cauchy. Isto significa que para cada hai un número enteiro positivo tal que para todos os temos que
Isto é equivalente a
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Lista de series matemáticas Función zeta de Riemann Ligazóns externas
Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem. Consultado o 16 de maio de 2005.
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas Categoría:Análise matemática Categoría:Serie matemática