En matemáticas, unha función de involución ou función autoinversa Robert Alexander Adams, Calculus: Single Variable, 2006, , p. 165 é unha función que é a súa propia inversa,
para todo no dominio de . De forma equivalente, aplicar dúas veces produce o valor orixinal.
Propiedades xerais Calquera involución é unha bixección.
O mapa identidade é un exemplo trivial de involución. Exemplos de involucións non triviais inclúen a negación ( ), a reciprocidade ( ) e a conxugación complexa ( ) en aritmética; reflexión, rotación de media volta e inversión en relación a unha circunferencia en xeometría; complementación na teoría de conxuntos.
A composición de dúas involucións e é unha involución se e só se conmutan: .
Involución nos distintos campos das matemáticas
Funcións con valores reais A gráfica dunha involución (sobre os números reais) é simétrica a través da recta .
Algúns exemplos básicos de involucións inclúen as funcións
A maiores, podemos construír unha involución envolvendo unha involución nunha bixección e a súa inversa ( ). Por exemplo:
Xeometría euclidiana Un exemplo sinxelo de involución do espazo euclidiano tridimensional é a reflexión a través dun plano. Realizar unha reflexión dúas veces trae un punto ás súas coordenadas orixinais.
Xeometría proxectiva Unha involución é unha proxectividade de período 2, é dicir, unha proxectividade que troca pares de puntos.
Álxebra linear En álxebra linear, unha involución é un operador linear nun espazo vectorial, tal que . Agás na característica 2, eses operadores son diagonalizábeis para unha base dada con só s e s na diagonal da matriz correspondente. Se o operador é ortogonal (unha involución ortogonal), é diagonalizábel ortonormalmente.
Por exemplo, supoña que se escolle unha base para un espazo vectorial e que e son elementos de base. Existe unha transformación linear que envía a , e envía a , e esa é a identidade en todos os demais vectores da base. Pódese comprobar que para todo en . É dicir, é unha involución de .
Teoría dos aneis Na teoría de aneis, a palabra involución adoita tomarse para significar un antihomomorfismo que é a súa propia función inversa. Exemplos de involucións en aneis comúns:
conxugación complexa no plano complexo, e o seu equivalente nos números complexos hiperbólicos. a transposta nun anel de matrices.
Teoría de grupos Unha permutación é unha involución se e só se pode escribirse como un produto finito de transposicións disxuntas.
As involucións dun grupo teñen un grande impacto na estrutura do grupo. O estudo das involucións foi fundamental na clasificación de grupos finitos simples.
Os grupos de Coxeter son grupos xerados por un conxunto de involucións suxeitos só a relacións que implican potencias de pares de elementos de . Os grupos de Coxeter pódense utilizar, entre outras cousas, para describir os posíbeis poliedros regulares e as súas xeneralizacións a dimensións superiores.
Lóxica matemática A operación do complemento nas álxebras booleanas é unha involución. En consecuencia, a negación na lóxica clásica cumpre a lei da dobre negación: equivale a .
Informática A operación XOR bit a bit cun valor dado para un parámetro é unha involución do outro parámetro. Nalgúns casos, as máscaras XOR usáronse para debuxar gráficos en imaxes de tal xeito que debuxándoos dúas veces no fondo volva o fondo ao seu estado orixinal.
Física A transformación de Legendre, que converte entre o Lagrangiano e o Hamiltoniano, é unha operación involutiva.
Notas
Véxase tamén Bibliografía
Outros artigos Idempotencia. Automorfismo.
Categoría:Funcións Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas