+Números de Bernoulli fraccióndecimal01 +1.0000000001±±0.5000000002 +0.16666666630 +0.0000000004−−0.03333333350 +0.0000000006 +0.02380952370 +0.0000000008−−0.03333333390 +0.00000000010 +0.075757575110 +0.00000000012−−0.253113553130 +0.00000000014 +1.166666666150 +0.00000000016−−7.092156862170 +0.00000000018 +54.97117794190 +0.00000000020−−529.1242424
En matemáticas, os números de Bernoulli son unha sucesión de números racionais que ocorren con frecuencia na análise matemática. Os números de Bernoulli aparecen na (e poden definirse por) expansión da serie de Taylor das funcións tanxente e tanxente hiperbólica, na fórmula de Faulhaber para a suma das m-avas potencias dos primeiros n enteiros positivos, na fórmula de Euler-Maclaurin, e en expresións para certos valores da función zeta de Riemann.
Os valores dos primeiros 20 números de Bernoulli están indicados na táboa adxacente. Na literatura utilízanse dúas convencións, denotadas aquí por e ; difiren só para , onde e . Para todo impar , . Para todo par, é negativo se é divisíbel por 4 e positivo no caso contrario. Os números de Bernoulli son valores especiais dos polinomios de Bernoulli , con e .
Notación O superíndice usado neste artigo distingue as dúas convencións de signos para os números de Bernoulli. Só afecta ao termo :
with ( / ) é a convención de signos prescrita polo NIST e a maioría dos libros de texto modernos. with ( / ) utilizouse nos artigos antigos, e (desde 2022) por Donald Knuth seguindo o "Bernoulli Manifesto" de Peter Luschny.
Nas fórmulas seguintes, pódese mudar dunha convención de signos a outra coa relación , ou para o número enteiro = 2 ou maior, simplemente ignoralo.
Dado que para todos , e moitas fórmulas só implican números de Bernoulli de índice par, algúns autores escriben " " en lugar de . Este artigo non segue esa notación.
Historia
Primeiros tempos Os números de Bernoulli teñen raíces na historia do cálculo de sumas de potencias enteiras, que foron de interese para os matemáticos desde a antigüidade. dereita|miniatura| Unha páxina do Katsuyō Sanpō de Seki Takakazu (1712), que tabula coeficientes binomiais e números de Bernoulli. O resultado de Bernoulli foi publicado postumamente en Ars Conjectandi en 1713. Seki Takakazu descubriu independentemente os números de Bernoulli e o seu resultado foi publicado un ano antes, tamén postumamente, en 1712. Porén, Seki non presentou o seu método como unha fórmula baseada nunha secuencia de constantes.
A fórmula de Bernoulli para as sumas de potencias é a formulación máis útil e xeneralizábel ata a data. Os coeficientes da fórmula de Bernoulli chámanse agora números de Bernoulli, seguindo unha suxestión de Abraham de Moivre.
A fórmula de Bernoulli chámase ás veces fórmula de Faulhaber por Johann Faulhaber quen atopou formas notábeis de calcular a suma de potencias pero nunca enunciou a fórmula de Bernoulli. Segundo Knuth Carl Jacobi publicou por primeira vez unha proba rigorosa da fórmula de Faulhaber en 1834.
Reconstrución de "Summae Potestatum" dereita|miniatura|"Summae Potestatum", de Jakob Bernoulli, 1713⋮
Os números de Bernoulli (n)/ OEIS (n) foron introducidos por Jakob Bernoulli no libro Ars Conjectandi publicado postumamente en 1713, páxina 97. A fórmula principal pódese ver na segunda metade do facsímile correspondente. Os coeficientes constantes denotados , , e por Bernoulli son mapeados coa notación que agora prevalece como , , , . A expresión significa , os pequenos puntos úsanse como símbolos de agrupación.
Usando a terminoloxía actual estas expresións son factoriais descendentes . A notación factorial como atallo para non se introduciu ata 100 anos despois. O símbolo integral do lado esquerdo remóntase a Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675 que o usou como unha letra longa para "summa" (suma). A letra do lado esquerdo non é un índice de suma, senón que dá o límite superior do intervalo de suma que debe entenderse como . Xuntando estas cousas, para un positivo, hoxe é probábel que un matemático escriba a fórmula de Bernoulli como:
Esta fórmula suxire estabelecer , así temos
se , recuperando o valor que Bernoulli lle deu ao coeficiente nesa posición.
A fórmula para na primeira metade da cita de Bernoulli anterior contén un erro no último termo; debería ser en vez de .
Definicións Atopáronse moitas caracterizacións dos números de Bernoulli nos últimos 300 anos, e cada unha delas podería usarse para introducir estes números. Aquí só se mencionan catro das máis útiles:
unha ecuación recursiva, unha fórmula explícita, unha función xeradora, unha expresión integral.
Para a proba da equivalencia dos catro enfoques podemos ver a referencia de Ireland e RosenVer ou ..
Definición recursiva Os números de Bernoulli obedecen ás fórmulas de suma
onde e denota o delta de Kronecker.
A primeira delas ás veces escríbese como a fórmula (para m > 1)
onde a potencia se expande formalmente usando o teorema binomial e substitúese por .
Resolvendo para dá as fórmulas recursivas
Definición explícita En 1893 Louis Saalschütz enumerou un total de 38 fórmulas explícitas para os números de Bernoulli,. normalmente dando algunha referencia na literatura máis antiga. Unha delas é (por ):
Función xeradora As funcións xeradoras exponenciais son
A función xeradora ordinaria
é unha serie asintótica. Contén a función trigamma (segunda derivada do logaritmo da función gamma).
Expresión con integral Das funcións xeradoras anteriores, pódese obter a seguinte fórmula con integral para os números pares de Bernoulli:
.
Os números de Bernoulli e a función zeta de Riemann dereita|miniatura| Os números de Bernoulli dados pola función zeta de Riemann. Os números de Bernoulli pódense expresar en termos da función zeta de Riemann:
para .
Aquí o argumento da función zeta é 0 ou negativo. Como é cero para os enteiros pares negativos (os ceros triviais), se n>1 é impar, é cero.
Mediante a ecuación funcional da zeta e a fórmula de reflexión gamma pódese obter a seguinte relación:
para .
Agora o argumento da función zeta é positivo.
De ( ) e da fórmula de Stirling despréndese que
para .
Análise asintótica
Sen dúbida, a aplicación máis importante dos números de Bernoulli en matemáticas é o seu uso na fórmula de Euler-Maclaurin. A fórmula de Euler-Maclaurin proporciona expresións para a diferenza entre a suma e a integral en termos da derivada máis alta avaliada nos extremos do intervalo.
Asumindo que é unha función suficientemene diferenciábel ( veces diferenciábel) , a fórmula de Euler-Maclaurin pódese escribir como
Esta formulación asume a convención .
Aquí (é dicir, a derivada de orde cero de é xusto ). Alén diso, sexa a antiderivada de . Segundo o teorema fundamental do cálculo temos,
Así, a última fórmula pódese simplificar aínda máis á seguinte forma sucinta da fórmula de Euler-Maclaurin
Onde é o termo de erro, que adoita ser pequeno para valores adecuados de .
Esta forma é, por exemplo, a fonte da importante expansión de Euler-Maclaurin da función zeta
Aquí denota o factorial ascendente.
Os números de Bernoulli tamén se usan con frecuencia noutros tipos de expansións asintóticas. O seguinte exemplo é a clásica expansión asintótica de tipo Poincaré da función digamma (derivada do logaritmo da función gamma).
.
Suma de potencias Os números de Bernoulli teñen un lugar destacado na expresión en forma pechada da suma das potencias -ésimas dos primeiros números enteiros positivos. Para definimos
Esta expresión sempre pode reescribirse como un polinomio en de grao . Os coeficientes destes polinomios están relacionados cos números de Bernoulli pola fórmula de Bernoulli:
onde denota o coeficiente binomial.
Por exemplo, tomando como 1 dá os números triangulares .
Serie de Taylor Os números de Bernoulli aparecen na expansión da serie de Taylor de moitas funcións trigonométricas e funcións hiperbólicas.
Serie Laurent Os números de Bernoulli aparecen na serie de Laurent da función digamma: .
Conexións con números combinatorios A conexión do número de Bernoulli con varios tipos de números combinatorios baséase na teoría clásica das diferenzas finitas e na interpretación combinatoria dos números de Bernoulli como exemplo dun principio combinatorio fundamental, o principio de inclusión-exclusión.
Conexión cos números de Stirling do segundo tipo Se se definen os polinomios de Bernoulli como:.
onde para son os números de Bernoulli e é un número de Stirling do segundo tipo.
Tamén obtemos o seguinte para os polinomios de Bernoulli,
O coeficiente de en é .
Comparando o coeficiente de nas dúas expresións dos polinomios de Bernoulli temos:
que é unha fórmula explícita para os números de Bernoulli e pode usarse para demostrar o Teorema de Von-Staudt Clausen...
Conexión cos números de Stirling do primeiro tipo As dúas fórmulas principais que relacionan os números de Stirling sen signo do primeiro tipo cos números de Bernoulli (con ) son:
e a inversión desta suma (para , )
Aquí o número son os números racionais de Akiyama-Tanigawa, os primeiros deles aparecen na seguinte táboa. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ número de Akiyama-Tanigawa ! !!0!!1!!2!!3!!4 |- ! 0 | 1 || || || || |- ! 1 | || || || || ... |- ! 2 | || || || ... || ... |- ! 3 | 0 || || ... || ... || ... |- ! 4 | − || ... || ... || ... || ...
Os números de Akiyama-Tanigawa satisfán unha relación de recorrencia sinxela que se pode explotar para calcular iterativamente os números de Bernoulli. Ver / .
Conexión co triángulo de Pascal Hai fórmulas que conectan o triángulo de Pascal cos números de Bernoulli
onde é o determinante dunha matriz de Hessenberg da parte n-por-n do triángulo de Pascal cuxos elementos son:
Exemplo:
.
Relación cos números eulerianos Hai fórmulas que relacionan os números eulerianos cos números de Bernoulli:
Ambas as fórmulas son válidas para se se vale . Se vale − só son válidas para e respectivamente.
Representación integral e continuación analítica A integral
ten como valores especiais para .
Por exemplo, e . Onde, denota a Función zeta de Riemann, e denota a unidade imaxinaria.
Leonhard Euler (Opera Omnia, Ser. 1, Vol. 10, p. 351) considerou estes números e calculou
Outra representación integral similar é
A relación cos números de Euler e Os números de Euler son unha sucesión de números enteiros intimamente relacionados cos números de Bernoulli. Comparando as expansións asintóticas dos números de Bernoulli e de Euler mostran que os números de Euler teñen unha magnitude aproximadamente veces maior que os números de Bernoulli .
En consecuencia:
Esta ecuación asintótica revela que reside na raíz común tanto dos números de Bernoulli como dos de Euler. De feito podería calcularse a partir destas aproximacións racionais.
Os números de Bernoulli pódense expresar a través dos números de Euler e viceversa. Xa que, para impar, (coa excepción de ), abonda con considerar o caso cando é par.
Unha visión algorítmica: o triángulo de Seidel A secuencia Sn ten outra propiedade inesperada pero importante: os denominadores de Sn+1 dividen o factorial de . Noutras palabras: os números son números enteiros. Ás veces chamados números en zigzag de Euler ou permutacións alternadas.
(). Consulte ().
A súa función xeradora exponencial é a suma das funcións secante e tanxente.
.
Así, as representacións anteriores dos números de Bernoulli e Euler poden reescribirse en termos desta secuencia como
Estas identidades facilitan o cálculo dos números de Bernoulli e Euler: os números de Euler veñen dados inmediatamente por e os números de Bernoulli son fraccións obtidas de mediante un troco sinxelo, evitando a aritmética racional.
O que fica é atopar un xeito cómodo de calcular os números . Porén, xa en 1877 Philipp Ludwig von Seidel publicou un enxeñoso algoritmo, que facilita o cálculo de .
Comece poñendo 1 na fila 0 e sexa o número da fila que se está a cubrir actualmente.