En álxebra linear, unha matriz nilpotente é unha matriz cadrada N tal que
para algún enteiro . O máis pequeno deste tipo chámase índice de , ou ás veces o grao de .
De xeito máis xeral, unha transformación nilpotente é unha transformación linear dun espazo vectorial tal que para algún enteiro positivo (e, polo tanto, para todos os ).
Estes dous conceptos son casos especiais dun concepto máis xeral de nilpotencia que se aplica aos elementos dos aneis.
Exemplos Exemplo 1 A matriz
é nilpotente de índice 2, xa que .
Exemplo 2 De forma máis xeral, calquera matriz triangular de dimensións con ceros ao longo da diagonal principal é nilpotente, con índice . Por exemplo, a matriz
é nilpotente, con
O índice de é polo tanto 4.
Exemplo 3 Aínda que os exemplos anteriores teñen un gran número de entradas cero, unha matriz nilpotente típica non o ten. Por exemplo,
aínda que a matriz non ten entradas cero.
Exemplo 4 Alén diso, calquera matriz da forma
como
ou
elévase ao cadrado dando cero.
Exemplo 5 Se cadra algúns dos exemplos máis sorprendentes de matrices nilpotentes sexan as matrices cadradas da forma:
As primeiras delas son:
Estas matrices son nilpotentes mais non hai entradas cero en ningunha das súas potencias inferiores ao índice.
Exemplo 6 Considere o espazo linear de polinomios de grao limitado. O operador derivada é un mapa linear. Sabemos que ao aplicar a derivada a un polinomio diminúe o seu grao en un, polo que ao aplicalo de forma iterativa, acabaremos por obter cero. Polo tanto, en tal espazo, a derivada é representábel por unha matriz nilpotente.
Caracterización Para unha matriz cadrada , , con entradas reais (ou complexas), as seguintes afirmacións son equivalentes: é nilpotente. O polinomio característico para é . O polinomio mínimo para é para algún número enteiro positivo . O único eigenvalor complexo para é 0. O último teorema é certo para matrices sobre calquera corpo de característica 0 ou característica suficientemente grande. (cf. Identidades de Newton)
Este teorema ten varias consecuencias, incluíndo: O índice dunha matriz nilpotente sempre é menor ou igual a . Por exemplo, cada matriz nilpotente elevada ao cadrado é cero. O determinante e a traza dunha matriz nilpotente son sempre cero. En consecuencia, unha matriz nilpotente non pode ser invertíbel. A única matriz diagonalizábel nilpotente é a matriz cero.
Ver tamén: Descomposición de Jordan-Chevalley.
Clasificación Considere a matriz de desprazamento (superior):
Esta matriz ten 1 ao longo da superdiagonal e 0s no resto da matriz. Como transformación linear, a matriz de desprazamento "despraza" as compoñentes dun vector unha posición cara á esquerda, aparecendo un cero na última posición:
Esta matriz é nilpotente con grao , e é a matriz nilpotente canónica.
Especificamente, se é calquera matriz nilpotente, entón é semellante a unha matriz diagonal en bloques da forma
onde cada un dos bloques é unha matriz de desprazamento (posibelmente de diferentes tamaños). Esta forma é un caso especial da forma canónica de Jordan para matrices.
Por exemplo, calquera matriz 2×2 nilpotente distinta de é semellante á matriz
É dicir, se é calquera matriz 2×2 nilpotente distinta de cero, entón existe unha base b1,b2 de tal forma que Nb1=0 e Nb2=b1.
Este teorema de clasificación cúmprese para matrices sobre calquera corpo. (Non é necesario que o corpo estea pechado alxebricamente.)
Bandeira de subespazos Unha transformación nilpotente en determina naturalmente unha bandeira de subespazos
e unha sinatura
A sinatura caracteriza ata unha transformación linear invertíbel. A maiores, satisfai as desigualdades
Pola contra, calquera secuencia de números naturais que satisfaga estas desigualdades é a sinatura dunha transformación nilpotente.
Propiedades adicionais
Se é nilpotente con índice , entón e son invertíbeis, onde é a matriz identidade . As inversas veñen dadas por
Se é nilpotente, entón
Pola contra, se é unha matriz e
para todos os valores de , entón é nilpotente. De feito, dado que é un polinomio de grao , abonda con ter este valor para valores distintos de . Toda matriz singular pódese escribir como produto de matrices nilpotentes.R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3 Unha matriz nilpotente é un caso especial dunha matriz converxente.
Xeneralizacións Un operador linear é localmente nilpotente se para cada vector , existe un tal que
Para os operadores nun espazo vectorial de dimensións finitas, a nilpotencia local é equivalente á nilpotencia.
Notas
Véxase tamén Bibliografía
Outros artigos Matriz (matemáticas). Nilpotente. Descomposición de Jordan-Chevalley. Ligazóns externas Nilpotent matrix e [http://planetmath.org/nilpotenttransformation transformación nilpotente en PlanetMath.
Categoría:Matrices