En matemáticas, a derivada formal é unha operación sobre elementos dun anel polinómico ou dun anel de series formais de potencias que imita a forma da derivada do cálculo.
Aínda que parecen similares, a vantaxe alxébrica dunha derivada formal é que non se basea na noción de límite, que en xeral é imposíbel de definir para un anel.
Moitas das propiedades da derivada son certas para a derivada formal, mais algunhas, especialmente as que fan enunciados numéricos, non o son.
A diferenciación formal úsase en álxebra para comprobar as raíces múltiples dun polinomio.
Definición Dado un anel (non necesariamente conmutativo) e sexa o anel de polinomios sobre . (Se non é conmutativa, esta é a álxebra libre sobre unha única variábel indeterminada.)
Entón a derivada formal é unha operación sobre elementos de , onde se
entón a súa derivada formal é
Na definición anterior, para calquera número enteiro non negativo e , defínese como de costume nun anel: (con se ).
Esta definición tamén funciona aínda que non teña unha identidade multiplicativa (é dicir, é un rng).
Propiedades Pódese comprobar que:
A diferenciación formal é linear: para dous polinomios calquera f(x), g(x) en R[x] e elementos r, s de R temos
A derivada formal cumpre a regra do produto:
Observe a orde dos factores; cando R non é conmutativo isto é importante.
Teña en conta que a derivada formal non é un homomorfismo de aneis, porque a regra do produto é diferente de dicir (e non é o caso) que . No entanto, trátase dun homomorfismo (mapa linear) de R-módulos, segundo as regras anteriores.
Notas
Véxase tamén Bibliografía
Outros artigos Derivada Dominio euclidiano Serie formal de potencias
Ligazóns externas Michael Livshits, You could simplify calculus, arXiv:0905.3611v1
Categoría:Álxebra abstracta Categoría:Cálculo diferencial