Na teoría de aneis, unha rama das matemáticas, o anel cero ou anel trivial é o único anel (ata isomorfismo) que consiste nun elemento. (Con menos frecuencia, o termo "anel cero" úsase para referirse a calquera rng de cadrado cero, é dicir, un rng no que para tódolos x e y. Este artigo refírese ao anel dun elemento).
Na categoría dos aneis, o anel cero é o obxecto terminal, mentres que o anel de enteiros Z é o obxecto inicial.
Definición O anel cero, denotado como {0} ou simplemente 0, consiste no conxunto dun elemento {0} coas operacións + e · definidas de xeito que 0 + 0 = 0 e 0 · 0 = 0.
Algunhas propiedades
O anel cero é o único anel no que coinciden a identidade aditiva 0 e a identidade multiplicativa 1. O anel cero é conmutativo. O elemento 0 no anel cero é unha unidade, que serve como inverso multiplicativo propio. O grupo unidade do anel cero é o grupo trivial {0}. O elemento 0 no anel cero non é un divisor de cero. O único ideal do anel cero é o ideal cero {0}, que tamén é o ideal unitario, igual a todo o anel. Este ideal non é máximal nin primo. O anel cero é xeralmente excluído dos corpos, mentres que ocasionalmente se chama corpo trivial. O anel cero é xeralmente excluído dos dominios de integridade.
Construcións
Para calquera anel A e ideal I de A, o cociente A / I é o anel cero se e só se , é dicir, se e só se I é o ideal unidade. Para calquera anel conmutativo A e conxunto multiplicativo S en A, a localización S −1 A é o anel cero se e só se S contén 0. Se A é calquera anel, entón o anel M0(A) de matrices 0 × 0 sobre A é o anel cero. O produto directo dunha colección baleira de aneis é o anel cero. O anel de funcións continuas con valores reais no espazo topolóxico baleiro é o anel cero.
Notas
Véxase tamén Bibliografía
Outros artigos Teoría dos aneis
Categoría:Cero Categoría:Teoría de aneis