En matemáticas, un conxunto non numerábel, informalmente, é un conxunto infinito que contén demasiados elementos para poder ser numerábeis.
A non numerabilidade dun conxunto está intimamente relacionada co seu número cardinal: un conxunto é non numerábel se o seu número cardinal é maior que aleph-cero, a cardinalidade dos números naturais.
Exemplos de conxuntos non numerábeis inclúen o conxunto de todos os números reais e o conxunto de todos os subconxuntos dos números naturais.
Caracterizacións Hai moitas caracterizacións equivalentes da non numerabilidade. Un conxunto X é non numerábel se e só se cumpre algunha das seguintes condicións:
Non hai unha función inxectiva (polo tanto, non hai bixección) desde X ata o conxunto de números naturais. X non está baleiro e para cada ω-sucesión de elementos de X, existe polo menos un elemento de X non incluído nela. É dicir, X non está baleiro e non hai función sobrexectiva desde os números naturais a X. A cardinalidade de X non é nin finita nin igual a (aleph-cero). O conxunto X ten cardinalidade estritamente maior que .
As tres primeiras destas caracterizacións pódense probar equivalentes na teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel sen o axioma de escolla, pero a equivalencia da terceira e da cuarta non se pode demostrar sen principios de escolla adicionais.
Propiedades Se un conxunto non numerábel X é un subconxunto do conxunto Y, entón Y é non numerábel.
Exemplos O exemplo máis coñecido dun conxunto non numerábel é o conxunto de todos os números reais .
O argumento de diagonalización de Cantor mostra que este conxunto é non numerábel.
A técnica de proba de diagonalización tamén se pode usar para demostrar que outros conxuntos son non numerábeis, como o conxunto de todas as secuencias infinitas de números naturais (ver: , e o conxunto de todos os subconxuntos do conxunto de números naturais.
A cardinalidade chámase a miúdo cardinalidade do continuo e denótase por , ou , ou (beth-un).
Outro exemplo dun conxunto non numerábel é o conxunto de todas as funcións de en . Este conxunto é aínda "máis non numerábel" que no sentido de que a cardinalidade deste conxunto é (beth-dous), que é maior que .
Sen o axioma da escolla Sen o axioma da escolla, poderían existir cardinalidades incomparábeis con (é dicir, as cardinalidades dos conxuntos infinitos Dedekind-finitos ).
Os conxuntos destas cardinalidades satisfán as tres primeiras caracterizacións anteriores, mais non a cuarta caracterización. Dado que estes conxuntos non son máis grandes que os números naturais no sentido de cardinalidade, algúns autores poden non querer chamalos non numerábeis.
Se se cumpre o axioma de escolla, as seguintes condicións nun cardinal son equivalentes:
e , onde e é o menor ordinal inicial maior que
No entanto, todos poden ser diferentes se o axioma da escolla falta. Polo tanto, non é obvio cal é a xeralización adecuada de "non numerabilidade" cando o axioma falta. Se cadra sexa mellor evitar usar a palabra neste caso e especificar cal destes significa. Notas
Véxase tamén
Bibliografía Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. (Paperback edition).
Outros artigos Número aleph Cardinalidade do continuo
Categoría:Teoría de conxuntos