miniatura|dereita|Un diagrama de Venn que ilustra a intersección de dous conxuntos. A teoría de conxuntos é a rama da lóxica matemática que estuda os conxuntos, que son coleccións de obxectos. Aínda que calquera tipo de obxecto pode coleccionarse nun conxunto, a teoría de conxuntos adóitase aplicar aos obxectos relevantes para as matemáticas. A linguaxe da teoría de conxuntos pode usarse nas definicións de practicamente todos os obxectos matemáticos.
O estudo moderno da teoría de conxuntos foi iniciado por Georg Cantor e Richard Dedekind na década de 1870. Logo do descubrimento de paradoxos na teoría de conxuntos simplista, propuxéronse numerosos sistemas axiomáticos a principios do século XX, dos cales o de Zermelo-Fraenkel, co axioma da escolla, é o máis coñecido.
A teoría de conxuntos úsase comunmente como un sistema de fundamentos para as matemáticas, en particular na forma da Teoría de conxuntos de Zermelo–Fraenkel co axioma da escolla. Alén do seu rol como sistema de fundamentos, a teoría de conxuntos é unha rama das matemáticas por dereito propio, cunha activa comunidade de investigadores. A investigación contemporánea dentro da teoría de conxuntos inclúe un conxunto diverso de temas que van desde a estrutura da recta real ao estudo da consistencia dos grandes cardinais.
Historia miniatura|200px|Georg Cantor, fundador da teoría de conxuntos. Os tópicos matemáticos xorden e desenvólvense frecuentemente pola interacción de moitos investigadores. Porén, a teoría de conxuntos fundouna un único matemático, Georg Cantor, cando, en 1874 publicou o artigo "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Sobre unha propiedade característica de todos os números reais alxébricos").
O concepto de infinito foi obxecto de estudo dos matemáticos desde polo menos o século V a.C., cando os matemáticos indios en Oriente, e Zenón de Elea en Grecia se esforzaban no seu estudo. Xa na primeira metade do século XIX, destaca o traballo de Bernard Bolzano. A comprensión moderna do infinito comezou en 1867–71 co traballo de Cantor en teoría de números. Un encontro en 1872 entre Cantor e Richard Dedekind influenciou nas ideas de Cantor e culminou coa publicación en 1874 do artigo mencionado.
O traballo inicial de Cantor polarizou aos matemáticos da época. Mentres Karl Weierstrass e Dedekin apoiaban a Cantor, outros o criticaban como Leopold Kronecker, considerado hoxe un dos fundadores do construtivismo matemático. A teoría de conxuntos de Cantor espallouse eventualmente, debido á utilidade dos conceptos cantorianos como o da correspondencia bixectiva entre conxuntos, a súa demostración de que hai máis números reais que enteiros, e o "infinito de infinitos" (paraíso de Cantor) resultado da introdución do concepto do conxunto das partes dun conxunto. Estas utilidades da teoría de conxuntos guiaron o artigo de 1898 "Mengenlehre", contribución de Arthur Schoenflies á enciclopedia de Klein. miniatura|esquerda|Russell en 1907, pouco despois de publicar Os principios das matemáticas, onde menciona o paradoxo que finalmente levaría o seu nome. O seguinte pulo á teoría de conxuntos veu arredor de 1900, cando se descubriu que a teoría cantoriana de conxuntos daba lugar a algunhas contradicións como as antinomias e os paradoxos. Dun xeito independente, Ernst Zermelo e Bertrand Russell acharon o máis simple e máis coñecido destes paradoxos, hoxe coñecido como paradoxo de Russell: Sexa A o "conxunto de todos os conxuntos que non se conteñen a si mesmos". Esta definición leva a unha contradición pois A non pode ser un elemento de si mesmo (non pode conterse a si mesmo), mais A debe ser un elemento de si mesmo (se non, non estarían en A todos os conxuntos con esa propiedade). En 1899 o mesmo Cantor lanzou a pregunta: Cal é o cardinal do conxunto de todos os conxuntos?, e obtivo o paradoxo mencionado. Russell usou este paradoxo na revisión que fixo en 1903 das matemáticas continentais na súa obra Os principios das matemáticas.
O debate sobre os paradoxos que producía a teoría de conxuntos non fixo máis que incrementar o seu estudo. O traballo de Zermelo en 1908 e Abraham Fraenkel en 1922 tivo como resultado a axiomática de Zermelo-Fraenkel (ZF), que chegou a consolidarse como a máis comunmente usada das axiomáticas da teoría de conxuntos. Os traballos de analistas como Henri Lebesgue demostraron a grande utilidade matemática da teoría de conxuntos, sendo desde entón unha parte fundamental na construción das matemáticas modernas. A teoría de conxuntos úsase comunmente como un sistema de fundamentos das matemáticas, aínda que algunhas áreas prefiren para tal fin a teoría de categorías.
Conceptos básicos e notación
A teoría de conxuntos comeza cunha relación binaria fundamental entre un obxecto a e un conxunto A. Se a é un elemento de A escríbese , se a non é un elemento de A será . Como os conxuntos son tamén obxectos, a relación anterior pode establecerse tamén entre conxuntos.
Unha relación binaria derivada é a relación de inclusión entre dous conxuntos. Se todos os elementos dun conxunto A son tamén elementos doutro conxunto B, dise que A está contido en B ou tamén que A é un subconxunto de B, e escribiremos . Por exemplo, {1,2} é un subconxunto de {1,2,3}, pero {1,4} non. Obviamente todo conxunto é subconxunto de si mesmo. Dise que A é un subconxunto propio de B cando todos os elementos de A son tamén elementos de B e ademais hai elementos de B que non o son de A, denotarémolo por .
Dun xeito similar ás operacións aritméticas binarias entre números, na teoría de conxuntos defínense as seguintes operacións binarias entre conxuntos: A unión dos conxuntos A e B, denotada por , é outro conxunto cuxos elementos son os que pertencen a algún (ou a ambos) dos conxuntos A ou B. Por exemplo, a unión de {1, 2, 3} } e {2, 3, 4} é o conxunto {1, 2, 3, 4}. A intersección dos conxuntos A e B, denotada por , é outro conxunto cuxos elementos son os elementos comúns a A e a B. Por exemplo, a intersección de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conxunto {2, 3}. A diferenza dos conxuntos A e B, denotada por , é outro conxunto cuxos elementos son os elementos de A que non pertencen a B. Por exemplo, a diferenza 1,2,3}\{2,3,4} é o conxunto {1}; inversamente, a diferenza {2,3,4}\{1,2,3} é o conxunto {4}. Se A é un subconxunto doutro conxunto U, a diferenza é o conxunto complementario de A en U; cando a elección de U está clara polo contexto, úsase a notación Ac no canto de , por exemplo cando U é o conxunto universal como no estudo dos diagramas de Venn. A diferenza simétrica dos conxuntos A e B, denotada por , é o conxunto cuxos elementos son os elementos de A ou de B que non pertencen a ambos. Por exemplo, a diferenza simétrica dos conxuntos {1,2,3} e {2,3,4}, é o conxunto {1,4}. A diferenza simétrica é igual á diferenza da unión e a intersección , tamén é igual á unión das dúas diferenzas . O produto cartesiano de A e B, denotado por , é o conxunto cuxos elementos son todos os posíbeis pares ordenados onde a é un elemento de A, e b un elemento de B. Por exemplo, o produto cartesiano de {1,2} e {azul,verde} é {(1,azul),(1,verde),(2,azul),(2,verde)}. O conxunto das partes dun conxunto A, ou conxunto potencia de A, denotado por , é o conxunto cuxos elementos son todos os posíbeis subconxuntos de A considerando como tales aos dous subconxuntos impropios de A (o propio A, e o conxunto baleiro Ø que é o único conxunto que non posúe elementos). Se A ten un número finito n de elementos, o número de elementos de é . Por exemplo, o conxunto das partes do conxunto de dous elementos é que ten elementos.
Un pouco de ontoloxía
miniatura|Un segmento inicial da xerarquía de von Neumann. Un conxunto é puro se todos os seus elementos son conxuntos, todos os elementos dos seus elementos son conxuntos, e así sucesivamente. Por exemplo, o conxunto {Ø} contendo apenas o conxunto baleiro é un conxunto non baleiro puro. Na teoría de conxuntos moderna é común restrinxir a atención ao universo de von Neumann de conxuntos puros, e moitos sistemas da teoría axiomática dos conxuntos son proxectados para axiomatizar apenas os conxuntos puros. Hai moitas vantaxes técnicas con esta restrición unha vez que, esencialmente, todos os conceptos matemáticos poden ser modelados por conxuntos puros, sendo pequena a perda de xeneralidade. Os conxuntos no universo de von Neumann organízanse nunha xerarquía acumulativa, baseada en canto profundamente os seus elementos, os elementos de elementos etc, están encaixados. A cada conxunto nesta xerarquía asígnaselle (por recursión transfinita) un número ordinal α, coñecido como o seu rango. O rango dun conxunto puro X defínese como o supremo dos ordinais sucesores dos rangos dos elementos de X. Por exemplo, ao conxunto baleiro atribúeselle o rango 0, mentres que ao conxunto {Ø} contendo só ao conxunto baleiro atribúeselle o rango 1. Para cada α, o conxunto Vα defínese como o formado por todos os conxuntos puros con rango menor que α. A totalidade do universo de von Neumann denótase por V.
Axiomática da teoría de conxuntos A teoría elemental de conxuntos pode ser estudade de maneira informal e intuitiva, razón pola cal pode ser ensinado nas escolas primarias usando, por exemplo, diagramas de Venn. O achegamento intuitivo presupón que un conxunto pode formarse a partir da clase de todos os obxecto que satisfán unha condición particular de definición. Esta hipótese da orixe a paradoxos, dos cales os máis simples e coñecidos son o paradoxo de Russell e o paradoxo de Burali-Forti. A axiomática da teoría de conxuntos foi inicialmente concibida para librar á teoría de conxuntos de tales paradoxos.
Os sistemas axiomáticos da teoría de conxuntos máis amplamente estudados implican que todos os conxuntos forman unha xerarquía acumulativa. Tales sistemas poden clasificarse en dous tipos, segundo a súa ontoloxía:
Conxuntos sos: Estes inclúen a axiomática da teoría de conxuntos máis común, axiomática de Zermelo-Fraenkel co axioma da escolla (ZFC). Fragmentos de ZFC inclúen: A teoría de conxuntos de Zermelo, que substitúe ao esquema axiomático de substitución co correspondente de separación. A teoría xeral de conxuntos, un pequeno fragmento da teoría de conxuntos de Zermelo, suficiente para os axiomas de Peano e os conxuntos finitos. A teoría de conxuntos de Kripke-Platek, que omite os axiomas do infinito, o do conxunto das partes, e o da escolla, ao tempo que debilita os esquemas axiomáticos de separación e de substitución. Conxuntos e clases propias: Estes inclúen a teoría de conxuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel, que ten a mesma forza que ZFC para teoremas sobre conxuntos sos; e a teoría de conxuntos de Morse-Kelley, que é máis forte cá ZFC. Os sistemas anteriores poden modificarse para permitiren urelementos, obxectos que poden ser membros de conxuntos, mais eles mesmos non son conxuntos e non teñen ningún elemento.
Os sistemas de Novos Fundamentos NFU (permitindo urelementos) e NF (faltando eles) non están baseados nunha xerarquía acumulativa. NF e NFU inclúen un "conxunto de todo", relativo a que cada conxunto ten un complementario. Nestes sistemas os urelementos son importantes, porque NF, mais non NFU, produce conxuntos para os cales o axioma da escolla non se verifica.
Sistemas de teoría de conxuntos construtiva, como CST, CZF e IZF, integran a súa axiomática na lóxica intuicionista no canto da lóxica de primeira orde. Aínda, outros sistemas toman como padrón a lóxica de primeira orde estándar, mais presentan unha relación non estándar entre os seus elementos. Estes inclúen a teoría de conxuntos basta e a teoría de conxuntos difusa, onde o valor dunha fórmula atómica que incorpora a relación entre os elementos non é simplemente verdadeiro ou falso. Unha disciplina relacionada é a dos modelos de valores booleanos de ZFC.
Un enriquecemento de ZFC chamado teoría de conxuntos interna foi proposto por Edward Nelson en 1977.
Aplicacións