A fórmula de Bhaskara ou fórmula xeral para as ecuacións cuadráticas é unha regra xeral que permite determinar as raíces dun polinomio de segundo grao. Foi inventada polo famoso matemático indio Bhaskara. O que se busca é determinar os valores para os cales a ecuación ten solución.
Demostración sinxela por cambio de variable Demostración por traslado da función
A ecuación de segundo grao representa unha parábola, e o seu mínimo ou máximo atópanse igualando a súa derivada a 0, (punto en que a pendente é 0).
1 - Trasládase a función de modo que este punto se atope no eixo de ordenadas, é dicir, . Desta forma, o eixo "y" divide a función en dúas partes simétricas.
Matematicamente, equivale ao cambio de variable:
2 - Áchanse as raíces da nova ecuación, é dicir, resólvese . Dá dúas solucións simétricas respecto do eixo "y":
3 - Xa soamente queda desfacer o cambio de variable:
Demostración por cambio de variable
Outra maneira mais sinxela pódese formular aplicando os cambios de variables e . Así, a ecuación queda, dividindo por :
Aplícase o cambio de variable:
Sumando para axustar cadrados, e restando n en ámbolos membros:
E seguidamente contraendo da seguinte maneira o binomio:
Aplícase a raíz cadrada a ámbolos dous lados:
Restando a ámbolos dous lados:
Desfacendo a substitución, e :
E operando, obtense a seguinte ecuación simplificada:
Demostración orixinal
Partindo da ecuación
con
Multiplícase por :
Seguidamente súmase :
Reordenando obsérvase que é o cadrado da suma, e por tanto:
E contraendo a identidade notable:
Aplicación da raíz cadrada a ámbolos dous lados, coma na demostración anterior:
Restamos a ambos lados da igualdade:
Como , divídese sen problemas entre :
Notas
Véxase tamén Outros artigos Ecuación de segundo grao
Ligazóns externas Demostración: Fórmula Resolvente
Categoría:Polinomios