O límite dunha función é un concepto fundamental do cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado ás funcións.
Informalmente, o feito de que unha función f teña un límite L nun punto c significa que o valor de f pode ser tan próximo a L como se desexe, tomando puntos suficientemente próximos a c, independentemente do que ocorra en c.
Historia
Aínda que implícita no desenvolvemento do cálculo dos séculos XVII e XVIII, a notación moderna do límite dunha función remóntase a Bolzano quen, en 1817, introduciu as bases da técnica épsilon-delta.MacTutor History of Bolzano Mais o seu traballo non foi coñecido mentres estivo vivo. Cauchy expuxo límites no seu Cours d'analyse (1821) e parece ter expresado a esencia da idea, pero non dunha maneira sistemática. A primeira presentación rigorosa da técnica feita pública foi dada por Weierstrass nos 1850 e 1860MacTutor History of Weierstrass. e desde entón converteuse no método estándar para traballar con límites.
A notación de escritura usando a abreviatura lim coa frecha debaixo é debida a Hardy, que a usou no seu libro A Course of Pure Mathematics en 1908.
Definición formal
Funcións dunha variable real miniatura|250px|Visualización dos parámetros utilizados na definición de límite.
Se a función ten límite en podemos dicir de maneira informal que a función tende cara ao límite próximo a se se pode facer que sexa tan próximo como queiramos de dándolle valores a para que sexa o suficientemente parecido a mais sendo distinto de .
Os conceptos próximo ou parecido son matematicamente pouco precisos. Por esta razón, dáse unha definición formal de límite que precisa estes conceptos que di: O límite dunha función f(x), cando x tende a c é L se e só se para todo existe un tal que para todo número real x no dominio da función .
Isto, escrito en notación formal:
Esta notación dinos que se o límite existe, entón pódese estar tan preto del como queiramos. Se non se logra estar o suficientemente preto, entón a elección do δ non era a axeitada. A definición asegura que se o límite existe, entón é posible encontrar tal δ.
Non obstante, hai casos como por exemplo a función de Dirichlet definida como:
onde non existe un número c para o cal exista . Polo tanto, para demostrar a anterior afirmación é necesario facer uso do feito de que cada intervalo contén tanto números racionais como irracionais.
Límites laterais miniatura|O límite cando: x → x0+ ≠ x → x0-. Polo tanto, o límite cando x → x0 non existe.
x pode aproximarse a c tomando valores máis grandes que este (dereita):
ou tomando valores máis pequenos (esquerda):
Se os dous límites anteriores son iguais:
entón L pódese referir como o límite de f(x) en c. Dito doutro xeito, se estes non son iguais a L, entón o límite, como tal, non existe.
Funcións en espazos métricos Existe outra maneira de definir o límite que ten que ver cos conceptos de bólas e veciñanzas:
Supóñase f : (M, dM) → (N, dN) unha función entre dous espazos métricos, p é un punto límite de M e L∈N. Dicimos que "o límite de f en c é L" e escribimos
se e só se para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, c) < δ, temos dN(f(x), L) < ε.
En termos de desigualdades, temos que o límite da función f(x) en x = c é L se se cumpre que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:
, entón
Da desigualdade 0 < |x - c| < δ obtense o seguinte:
x pertence á veciñanza (c - δ, c) U (c, c + δ). x non é igual a c, pois 0 < |x - c| implica que x é distinto de c. A solución de |f(x) - L| < ε pertence ao intervalo (L - ε, L + ε).
Isto proporciona a clave de comprensión do concepto de límite, pois mentres que o valor de x está na veciñanza horizontal arredor do punto c e oca en c con radio delta e centro c, aínda cando nese punto c non estea definida, o valor de y está no intervalo vertical con centro en f(c) e radio épsilon.
Unicidade do límite
Se o límite dunha función existe, entón este é único. Este teorema é válido en espazos topolóxicos Hausdorff.
Supoñamos que , vexamos que non pode ser que tamén verifique a definición. Para isto tomamos unha veciñanza E de L e unha veciñanza E' de L' que non se interseccionen. Por definición de límite para todo x nalgunha veciñanza oca de c, polo que non pode estar en E', evitando que o límite sexa L'.
Propiedades dos límites Propiedades xerais Se k é un escalar:
Límite de Expresión Unha constante A función identidade O produto dunha función e unha constante Unha suma Unha resta Un produto Un cociente Unha potencia Un logaritmo O número e Función f(x) acoutada e g(x) infinitesimal .
Indeterminacións Hai varios tipos de indeterminacións, entre elas as seguintes (considere como o límite que tende a infinito e o límite cando tende a 0; e non o número 0): Operación Indeterminación Subtracción Multiplicación División Elevación a potencia
Exemplo. 0/0 é unha indeterminación, é dicir, non é posible, a priori, saber cal é o valor dun límite que tende a cero sobre outro que tamén tende a cero xa que o resultado non é sempre o mesmo. Por exemplo:
{| width="450px"
Regra de l'Hôpital
Esta regra fai uso da derivada e ten un uso condicional. Esta só pode usarse directamente en límites «equivalentes» a 0/0 ou a ±∞/±∞. Outras indeterminacións requiren algunha manipulación alxébrica, polo xeral, establecer que o límite é igual a y, tomar o logaritmo natural en ambos membros, e entón aplicar a regra de l'Hôpital.
Por exemplo:
Límites trigonométricos
Demostracións Nalgunhas demostracións, por exemplo, o segundo destes límites trigonométricos, utiliza a inecuación sin(x) < x < tan(x) no intervalo (0,π/2), que relaciona x coas funcións seno e tanxente. Logo dividimos por sin(x), obtendo:
Invertendo os termos da inecuación e cambiando os signos de desigualdade:
Calculando o límite cando x tende a 0:
O que é igual a:
Aplicando o teorema do sandwich, o límite necesariamente vale 1:
O terceiro dos límites demóstrase utilizando as propiedades dos límites e o valor obtido no límite anterior. É dicir:
Notas
Véxase tamén Límite matemático Límite superior e límite inferior Topoloxía de rede, unha xeneralización do concepto de límite.
Ligazóns externas Límites e continuidade de funcións Límite en MathWorld
Categoría:Funcións
nl:Limiet#Limiet van een functie