A faktorelemzés a többváltozós statisztika módszerei közé tartozik, célja a változók csoportosítása és a változók számának csökkentése, redukálása. A faktorelemzés lényege, hogy a változók között összefüggések, korrelációk tapasztalhatók: a közvetlenül nem megfigyelhető háttérváltozók – a latens változók, azaz a faktorok – meghatározása ezen korrelációk alapján lehetséges. A megfigyelt változók lineáris kombinációjából képezünk új változókat. A korrelációs módszer segítségével érhető el az eredeti változók számának csökkentése, hogy az eredeti adatok leírása a lehető legkevesebb információveszteséggel járjon.
A faktorelemzés modelljében feltételezzük, hogy a megfigyelt korrelált változók nem megfigyelhető hipotetikus háttérváltozók, ún. faktorok lineáris kombinációjaként írhatók le. A faktorelemzés során megkeressük az eredeti változók egymással szorosabb korrelációban levő csoportjait, ezeket a változókat egy faktorhoz tartozónak tekintjük. Amennyiben sikerült ilyen csoportokat elkülönítenünk, a következő feladat a faktorok értelmezése. Így a nagyszámú eredeti változót néhány faktorban összesíthetjük, és ezekkel mint új változókkal dolgozhatunk tovább.
A módszer a pszichológiában a személyiség szerkezetének, modelljének vizsgáló többváltozós kutatások alapjául szolgál, de azokon a területeken alkalmazható leginkább, ahol nagy mennyiségű adattal dolgoznak. A faktorelemzés módszerét alkalmazzák a pszichometriában, a viselkedés- és társadalomtudományokban, használja a szociológia, a marketing, a termékmenedzsment és az operációkutatás is.
Faktoranalízis típusai A feltáró faktoranalízst (angolul: exploratory factor analysis, EFA) arra használjuk, hogy feltárjunk velük komplex kölcsönös korrelációkat bizonyos itemek és csoportosító változóik között, illetve ezen csoportosító változók (faktorok) közötti kapcsolatokat, melyek egy bizonyos fogalom részeit képezik (pl. intelligencia). A feltáró faktoranalízis során a kutató nem él előzetes feltételezésekkel arra vonatkozóan, hogy a faktorok között milyen jellegű kapcsolat áll fenn.
A megerősítő (konformatikus) analízis (angolul: confirmatory factor analysis, CFA) egy bonyolultabb megközelítés abban az értelemben, hogy az itemjeink már kapcsolatban állnak bizonyos faktorokkal. Ilyen értelemben tehát modellt tesztelünk vele, esetleg bizonyítjuk azt. MFA strukturális egyenlet modellezési eljárást (SEM) alkalmaz a mérni kívánt modell tesztelésére. Ezt akképpen teszi, hogy a faktortöltések által kiszámítja a megfigyelt változók és háttérváltozók (v. látens változó) közötti kapcsolatot. SEM modellek képesek figyelembe venni a számítási hibákat és sokkal kevésbé korlátozóak, mint a legkisebb négyzetes módszerek. Hipotetikus modellünket saját adaton teszteljük, és az analízis be fogja mutatni a megfigyelt változók töltéseit a látens változókon (faktorokon), mint ahogyan a faktorok közötti korrelációkat is.
Faktorkiemelés típusai A főkomponens-analízis (FKA) egy széles körben alkalmazott eljárás faktorkiemeléshez, amit a feltáró faktoranalízis (FFA) első lépése. Az eljárás keretében faktorsúlyokat kell számolnunk, hogy megkapjuk a lehető legnagyobb lehetséges varianciát, ami nem más mint az első főkomponens varianciája. Miután ez megvan további faktorálás (faktorsúly számítás) következik, melynek keretében meghatározzuk a többi komponenst is, melyek varianciája csökkenő sorrendiséget fog mutatni. Tehát addig alkotunk komponenseket, még nem marad hátra jelentős variancia. Majd a faktormodellt elforgatjuk az analízishez.
A kanonikus faktorelemzést Rao-féle kanonikus faktorkiemelésnek is nevezik, mely főtengely módszert alkalmaz. Kanonikus faktorelemzés azokat a faktorokat keresi, melyeknek a legnagyobb a kanonikus korrelációja a megfigyelt változókkal.
Főfaktoranalízis vagy más néven főtengely faktorálás azon faktorok legkisebb számát keresi, melyek egy változóhalmaz közös varianciáját magyarázni képesek.
A faktor regressziós modell egy faktormodell és regressziós modell kombinatorikus modellje. Tulajdonképpen egy olyan hibrid faktormodellként tekinthetünk rá, melynek faktorait részben ismerjük.
Faktorok számának meghatározásához használt kritériumok Kutatók szeretnének olyan önkényes vagy szubjektív kritériumokat elkerülni, mint például „ezt tűnt észszerűnek”. Számos objektív eljárást dolgoztak ki, hogy megoldják ezt a problémát lehetővé téve az ezen eljárások felhasználóinak egy sor lehetséges megoldás számbavételét. Ezek az eljárások azonban nem feltétlenül fedik le egymást. Párhuzamos analízis példának okáért 5 faktort feltételezhet, addig a Velicer-féle MAP (minimum averaged partial) már 6-ot, így a kutatónak 5 és 6 faktoros megoldásra egyaránt szüksége lehet és ennek függvényében vizsgálja meg mindkettőt a külső adatok és elmélet összefüggésében.
Modern kritérium Horn-féle párhuzamos analízis: egy Monte-Carlo alapú szimulációs eljárás, mely összehasonlítja a megfigyelt sajátértékeket azokkal a sajátértékekkel, melyeket a korrelálatlan, normális eloszlású változókból szereztünk. Egy faktort vagy komponenst tehát csak abban az esetben tartunk meg, hogyha az ahhoz tartozó sajátérték nagyobb értéket vesz fel mint a random adatkészletből származó sajátértékek eloszlásának 95. percentilise. PA eljárás minősül a leggyakrabban ajánlott eljárásnak a faktorok számának meghatározásához, ugyanakkor sok program nem tartalmazza ezt a lehetőséget (melyek közül R kivételt képez). Formann ugyanakkor elméleti és kutatási bizonyítékkal is szolgált arra vonatkozóan, hogy alkalmazása bizonyos esetékben nem javasolt, ugyanis a Horn-féle párhuzamos analízis teljesítményét olyan tényezők befolyásolhatják, mint a mintaméret, item diszkrimináció vagy a korrelációs koefficiens típusa.
Velicer-féle MAP eljárás magába foglal egy teljes főkomponens elemzést amit egy sor parciális korrelációs mátrix megvizsgálása követ. Ezen eljárás során a komponenseket mindaddig fennmaradnak, amíg a korrelációs mátrixban jelenlévő variancia szisztematikus varianciát reprezentál, ellentétben a reziduálissal vagy a hibavarianciával. Annak ellenére, hogy metodológiailag hasonló a főkomponens elemzéshez, a MAP eljárás elég jól teljesít a faktorok számának meghatározásában számos szimulációs eljárásban.
Régi eljárások Kaiser-kritérium: Kaiser kritériumszabálya azt mondja, hogy dobjunk el minden olyan komponenst, aminek sajátértéke 1.0 alatt van. A Kaiser-kritérium alapeljárás SPSS-ben, illetve a legtöbb statisztikai szoftverben is, ugyanakkor mint egyetlen adatok csökkentését szolgáló kritériumként nem javasolt a használata a faktorok meghatározásához, mivel hajlamos túlbecsülni a faktorok számát. Az eljárásnak olyan verzióját is kidolgozták, ahol a kutató kiszámolja a minden sajátértékhez tartozó konfidenciaintervallumokat, és mindössze azokat a faktorokat tartja meg, melyek konfidenciaintervallum-értéke nagyobb mint 1.0,.
A „scree plot” olyan eljárás, melyben a komponensek az x tengelyen, a hozzájuk tartozó sajátértékek pedig az y tengelyen jelennek meg. Ahogyan jobbra haladunk a későbbi komponensek irányába, a sajátértékek csökkenni fognak. Amikor a görbe meredeksége véget ér és egyenesbe megy át, ott határozzuk meg a komponensek számát. Tehát attól a ponttól kezdve, ahogy a görbe egyenesbe fordul eldobunk minden komponenst. Ugyanakkor ezt az eljárást sok esetben kritizálták, ugyanis hajlamosít a kutatói szubjektivitásra. Az egyenesnek ugyanis számos „könyöke” lehet (azok a részek, ahol a görbe egyenesbe fordul), így a kutató hajlamos lehet a számára elérni kívánt mennyiségnél meghatározni a faktorok számát.
Feltáró faktoranalízis (FFA) versus főkomponens-analízis (FKA) Miközben a feltáró faktorelemzést és a főkomponens-analízist mint egymással megfeleltethető, szinonim technikákként kezelik a statisztika bizonyos területein, ez az eljárás sokak által megkérdőjelezett. Faktoranalízis során a kutatók azzal az előfeltételezéssel élnek, hogy a háttérben jelen van egy bizonyos ok-okozati, kauzális modell, mialatt a főkomponens-analízis esetében csupán egy változó-redukciós technikáról beszélhetünk. Kutatók úgy érvelnek, hogy a két technika között fennálló alapvető különbség azt jelentheti, hogy vannak bizonyos objektív előnyei az egyik technika alkalmazásának a másikkal szemben attól függően, hogy mi a statisztikai elemzésünk célja. Abban az esetben, ha faktormodellünk nem megfelelően lett megszerkesztve vagy az előfeltételek nem teljesülnek, akkor faktoranalízisünk hibás, rossz eredményt fog adni. Faktoranalízis abban az esetben használható tehát megfelelően, ha statisztikai modellünk is megfelelő. A főkomponens-analízis egy matematikai transzformációs eljárást alkalmaz az eredeti adatokon, miközben nem fogalmaz meg előfeltételeket a kovarianciamátrix formáját illetően. FA célja, hogy meghatározza az eredeti változók lineáris kombinációit, melyeket az adathalmaz megfelelő összegzésére lehet felhasználni anélkül, hogy azzal túl sok információt vesztenénk.
Érvek az FFA és FKA közötti különbségre Fabrigar és munkatársai (1999) egy sor érvet sorakoztattak fel amellett, hogy a főkomponens-analízis és a feltáró-faktoranalízis nem ugyanaz. Az érvek következők:
Felmerül, hogy a FKA analízis kevésbé számításigényes és ezért kevesebb erőforrást vesz igénybe mint a FFA. Fabrigar és munkatársai szerint ugyanakkor a számítógépes erőforrások széleskörű elérhetősége miatt ez a gyakorlati szempont már nem játszik jelentős szerepet. FFA és FKA hasonló eredményeket képesek produkálni. Bizonyos esetekben ugyanakkor, mikor a kommunalitások alacsonyak (pl. .40), a két technika egymástól különböző eredményeket is hozhat. Fabrigar és munkatársai szerint továbbá azokban az esetekben, amikor az adat eleget tesz a közös faktormodell előfeltételeinek, FKA eredményei pontatlanok. Vannak esetek, amikor a faktoranalízis úgynevezett „Heywood esetekhez” vezet bennünket. Ezek olyan helyzeteket foglalnak magukba, melyeknél a statisztikai modell a variancia 100 vagy annál nagyobb százalékát képes magyarázni egy mért változónál. Fabrigar és munkatársai szerint ezek az esetek informatívak egy kutató számára, hiszen potenciálisan jelezhetnek egy nem megfelelően specifikált statisztikai modellt, vagy a közös faktormodell előfeltételeinek sérülését. Heywood esetek hiánya FKA eljárás esetében azt jelentheti, hogy ehhez hasonló eseték figyelmen kívül maradnak. Kutató extra információkat nyerhet FKA eljárásnál, mint egyének bizonyos fajta értékei bizonyos komponenseknél, melyek faktoranalízisnél ellenben nem tárhatóak fel. Fabriger és munkatársai szerint a faktoaranalízis elsődleges célja, miszerint hogy meghatározza azon faktorokat melyek felelősek a mért változók között megjelenő korrelációs struktúráért, nem igényli a faktorértéket ismeretét, így az FKA fenti előnye FFA esetében elhanyagolható.
Lépései
Az első lépés a standardizált változók korrelációs – vagy kovariancia – mátrixának elkészítése és vizsgálata. Ekkor minden változónak mindegyik más változóval való kapcsolatát határozzuk meg. A következőkben azonosítanunk kell a faktorokat, azaz faktorextrakciót (faktorkivonást) kell végeznünk a változók közötti korrelációs vizsgálat alapján. A faktorextrakció után a faktorsúlyok becslése, a faktorok értelmezése, interpretációja következik. Faktorsúlynak (factor loading) a mérési mutató és a faktor közti korrelációt nevezzük.
Az így kapott faktorokat még nehezen lehet értelmezni, de a faktorok megfelelő rotációjával az eredeti változók korábbi viszonylag nagy faktorterhelései még nagyobbak lesznek, a korábbi viszonylag kis faktorterhelések pedig még kisebbek, az egyes faktorok a nagy terhelésű változók mentén könnyebben értelmezhetők. Az egyes eseteket a faktorpontok (factor score) segítségével jellemezhetjük. A faktorok elnevezésekor törekedni kell arra, hogy az elnevezések tükrözzék a legnagyobb faktorsúlyú tételeket.