bélyegkép|jobbra|200px| Negyedfokú függvény grafikonja. Az x tengellyel való metszéspontok a függvény zérushelyei (y = 0). A negyedfokú egyenlet olyan egyenlet melynek az egyik oldalán lévő kifejezés egy negyedfokú polinomfüggvény, a másik oldalán lévő kifejezés pedig zéró.
Általános alakja:
Megoldását Gerolamo Cardano inasa és tanítványa, Lodovico Ferrari (1522-1565) fedezte fel; a megoldás Cardano Ars magna című munkájában jelent meg.
Ez a legmagasabb fokú egyenlet, amely általános alakban megoldható; ezt Niels Henrik Abel bizonyította be 1824-ben.
Az általános negyedfokú egyenlet gyökei
Ha
és és esetén:
ellenkező esetben:
Ha
vagy esetén:
ellenkező esetben mind a négy gyök valós:
Megjegyzések:
, ,
, , ,
Viète-formulák
Az általános negyedfokú egyenlet megoldása
Mivel
ebből következik, hogy az
alakú negyedfokú egyenlet egyik gyöke
Ez igaz marad akkor is ha vagy tehát az
alakú negyedfokú egyenlet gyökei:
Ebből következik, hogy az negyedfokú egyenlet gyökeit úgy kaphatjuk meg ha az
egyenletrendszerből kiszámoljuk az ismeretleneket függvényében. Kicsit átrendezve:
Amiből felírható a következő hatodfokú egyenlet:
melynek gyökei kiszámíthatóak az általános harmadfokú egyenlet megoldóképletével. Ennek a hatodfokú egyenletnek hat gyöke van de csak arra a háromra van szükség melyekre teljesül az
összefüggés.
Ha akkor:
vagyis
pedig egyszerűsíthető alkalmazva a gyökvonást komplex számból:
ennek eredményeként:
Mivel:
ezért csak úgy teljesül ha
Tehát pozitív delta esetén a gyökok:
Ha és és akkor vagyis komplex szám és ebben az esetben a gyökök:
Ha akkor:
Ha és akkor komplex számok lesznek és miatt -nél bejön egy negatív előjel vagyis ekkor a gyökök:
Ellenkező esetben mind a négy gyök valós lesz:
Az általános negyedfokú egyenlet az helyettesítéssel:
alakra hozható és a fenti módszerrel megoldható, vagyis az általános egyenlet gyökei:
lesznek.
A valós együtthatós negyedfokú egyenlet megoldása Ludovico Ferrari módszere szerint
Az negyedfokú egyenlet
Ludovico Ferraritól (1522-1565) származó módszer szerinti megoldása két másodfokú egyenlet megoldására vezethető vissza. Előbb azonban meg kell oldani egy harmadfokú egyenletet, melynek eredményét a másodfokú egyenletek együtthatóinak képzésekor fogjuk felhasználni. A harmadfokú egyenlet: ahol
Megoldása a Cardano képlettel történik. -t úgy kapjuk meg, hogy a harmadfokú egyenlet egyik valós megoldásához -ot hozzáadjuk: . A másodfokú egyenletek:
Kettős műveleti jelnél az alsót akkor kell használni, ha . Tekintettel arra, hogy ezeknek a formuláknak az alkalmazása kissé bonyolult (főleg a és segédváltozók kiszámítása) a számítási munkát érdemes számítógépre bízni. A negyedfokú egyenlet Ludovico Ferrari szerinti megoldása (javítva és továbbfejlesztve, PASCAL nyelven megírva) így néz ki:
PROCEDURE negyedfoku (a,b,c,d:REAL); VAR p,q,z,z2,z3,m,n,w1,w2,w3:REAL; BEGIN p:=(a*c/4-b*b/12-d)/3; q:=(a*b*c/24-a*a*d/8-b*b*b/108+b*d/3-c*c/8)/2; harmadfoku(p,q,b/6,z,w1,z2,w2,z3,w3); IF (w2=0) AND (z2=z3) THEN IF z2>z THEN z:=z2; m:=ngyok(a*a/4-b+2*z); n:=ngyok(z*z-d); IF a*z-c < -1.e-7 THEN n := -n; masodfoku(a/2+m, z+n, x,y,x,y); masodfoku(a/2-m, z-n, x,y,x,y) END;
Látható, hogy semmi mást nem csinál, minthogy meghívja a "harmadfokú" eljárást (egyszer), majd a "másodfokú" eljárást (kétszer egymás után), miután kiszámította azok "bemeneti" együtthatóit.Benkő Miklós, Budapest, Hungary
Források
Matematikai kisenciklopédia. szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 77-78. oldal Kleine Enzyklopädie. Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 112-113. és 116. oldal.
További információk A megalázott géniusz, YOUPROOF A negyedfokú egyenlet gyökei megtekinthetők itt.
Kategória:Elemi algebra