Wedderburn tétele az absztrakt algebrai tételek közé tartozik. Azt állítja, hogy minden véges ferdetest test, vagyis a szorzás kommutatív. Tehát a végességből következik a kommutativitás. Ebből azonnal adódik, hogy egy olyan ferdetest, ami nem test, végtelen sok elemet tartalmaz; ilyen például a kvaterniók ferdeteste.
A tételt először Joseph WedderburnJ. H. M. Wedderburn: A theorem on finite algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 6 (1905), 349-352. bizonyította be 1905-ben. Azóta más matematikusok újabb bizonyításokat is találtak; köztük talán Ernst WittErnst Witt Über die Kommutatitivät endlicher Schiefkörper Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg vol. 8 p413 1931 alábbi gondolatmenete a legismertebb.Magyarul és részletesen ld. M. Aigner – G. M. Ziegler: Bizonyítások a Könyvből. Typotex, Bp., 2004; ch. 5., p. 25-28
Bizonyítás (Witt, 1931)
Tétel: Minden véges ferdetest kommutatív.
Bizonyítás: Legyen véges ferdetest. Tekintsük centrumát; ez test. Jelöljük ezt a testet -fel, elemszámát q-val. n dimenziós vektortér F fölött egy n természetes számra.
elemszáma ezzel qn, ezért multiplikatív csoportja qn-1 elemű (nem tartalmazza a nullelemet). Megmutatható, hogy ennek centruma F multiplikatív csoportja. Legyen
Vegyük a centralizátorát. Ez azokból az elemekből áll, amikkel a felcserélhető. Ez részferdetest -ben; elemszáma qd, ahol d osztója n-nek. Ennek multiplikatív csoportja megegyezik a multiplikatív csoportjában vett centralizátorral.
multiplikatív csoportjának osztályegyenletével
Az n-edik körosztási polinom osztója az hányadosnak minden d < n osztóra.
Ebből ahol Ez csak úgy lehet, hogy n = 1, tehát .
Források
Pelikán József: Algebra
Kategória:Testelmélet Kategória:Matematikai tételek