bélyegkép|200px|A lineáris harmonikus oszcillátor potenciális energiája és sajátfüggvényei A harmonikus rezgőmozgást végző tömegpontot nevezzük harmonikus oszcillátornak.
Egydimenziós (lineáris) harmonikus oszcillátor
bélyegkép|200px|A lineáris harmonikus oszcillátor sajátfüggvényei
Az m tömegű egydimenziós harmonikus oszcillátorra rugalmas erő hat, ahol k pozitív állandó. Mivel , a potenciális energia: . Ha a potenciális energiát () a hely (x) függvényében ábrázoljuk, parabolát kapunk.
Schrödinger-egyenlet és megoldása
A harmonikus oszcillátor Schrödinger-egyenlete:
A Schrödinger-egyenlettel meghatározhatóak a lehetséges energia-sajátértékek (), és a hozzájuk tartozó sajátfüggvények (). Az egyenletet a Sommerfeld-féle polinom módszerrel lehet megoldani.
Az energia lehetséges értékei a sajátértékek: , ahol körfrekvencia, és n=0,1,2,... nemnegatív egész szám. Ezzel a sajátértékek teljes rendszerét megkaptuk. Az oszcillátor energia-sajátértékei tehát nem vesznek fel tetszőleges értékeket, hanem kvantum egész számú többszörösei.
Az -hoz tartozó sajátértéket az oszcillátor zéruspont-energiájának nevezzük.
A szomszédos energiaszintek közti különbség:
AZ sajátértékhez tartozó sajátfüggvény: , ahol , és az n-dik Hermite-polinom.
Az arányossági tényező egy normáló tag, mivel -nek teljesülnie kell.
Alkalmazás
Kétatomos molekulák vibrációs színképének értelmezése A kétatomos molekulákban az atomokat közelítőleg rugalmas erők tartják egymás közelében. A molekula ezek hatására rezgéseket végez, amelyek lehetséges energiaértékeit a fenti energiasajátértékek adják meg. Szilárd testek Einstein-modellje A modellben a szilárd testet úgy képzeljük el, hogy az atomjai a kristályrács rácspontjaiban helyezkednek el, és egyensúlyi helyzetük körül kis amplitúdóval rezegnek. A test minden atomja azonos amplitúdóval rezeg, és a köztük lévő kölcsönhatástól eltekintünk. Ekkor az atomokat elemi oszcillátorokként vizsgálhatjuk, így jó közelítéssel meghatározhatjuk a szilárd anyag moláris hőkapacitásának értékét.
Háromdimenziós harmonikus oszcillátor
Az energia lehetséges értékei:
Lásd még
Kvantummechanika Sajátvektor és sajátérték Schrödinger-egyenlet Valószínűségi amplitúdó
Források Marx György: Kvantummechanika (Műszaki Kiadó, Budapest) Nagy Károly: Kvantummechanika (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest )
Kategória:Kvantummechanika