A Hilbert-tér a modern matematika fontos fogalma: olyan skalárszorzatos vektortér, amely teljes a skalárszorzat által definiált normára nézve. A Hilbert-tereket a funkcionálanalízis tanulmányozza. A Hilbert-térnek alapvető jelentősége van a kvantummechanika megalapozásában, jóllehet a kvantummechanika sok alapvető tulajdonsága megérthető a Hilbert-terek mélyebb megértése nélkül.Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 146-148. old. Typotex Kiadó, 2009. A Hilbert-tér egyben Banach-tér is, melynek normáját skalárszorzat indukálja.
Szerkezetét egyértelműen meghatározza a Hilbert-dimenziója. Ez tetszőleges kardinális szám lehet. Ha a dimenzió véges, akkor euklideszi vektortérről van szó. Sok területen, például a kvantummechanikában a megszámlálhatóan végtelen dimenziós Hilbert-teret használják. A Hilbert-tér egy eleme megadható a dimenziónak megfelelő számú valós, vagy komplex koordinátával. A vektorterekhez hasonlóan, ahol egy Hamel-bázisban megadott koordináták véges kivétellel nullák, egy Hilbert-tér ortonormált bázisában csak megszámlálható sok koordináta különbözhet nullától, és a koordináták négyzetesen összegezhetők.
A Hilbert-tereken értelmezett skalárszorzat topologikus szerkezettel is ellátja a teret; ez lehetővé teszi a határértékek megközelítését, szemben az általános vektorterekkel.
Bevezetés bélyegkép|160px|David Hilbert
A Hilbert-teret David Hilbertről nevezték el, aki az integrálegyenletekkel kapcsolatban tanulmányozta azokat. Az elnevezés eredete „der abstrakte Hilbertsche Raum” Neumann Jánostól származik, a nemkorlátos hermitikus operátorokról szóló 1929-es híres cikkéből. Neumann volt talán az a matematikus, aki legtisztábban látta a jelentőségét, annak a megtermékenyítően ható munkájának következtében, mellyel a kvantummechanikát szilárd alapokra helyezte. A „Hilbert-tér” elnevezést hamarosan mások is elfogadták, például Hermann Weyl az 1931-ben publikált A csoportok és a kvantummechanika elmélete (The Theory of Groups and Quantum Mechanics) című könyvében.
Az absztrakt Hilbert-tér elemeit „vektoroknak” nevezik. A kvantummechanikában például egy fizikai rendszert egy „hullámfüggvényekből” álló komplex Hilbert-tér ír le, mely hullámfüggvények a rendszer egyes állapotait írják le, a hullámfüggvények egy L-2-tér elemei a kvantummechanika modern megfogalmazásában. A kvantummechanikában gyakran használt síkhullámok és kötött állapotok Hilbert-terére a formálisabb kifeszített Hilbert-tér néven hivatkoznak.
Definíció A H vektorteret a T test (valós vagy komplex számtest) feletti Hilbert-térnek nevezzük, ha értelmezve van rajta egy Hermite-féle alak (belső szorzat), amely egy teljes normált teret indukál.
Azaz létezik egy leképzés: , amely minden -beli , , -re és minden -beli -ra a következőket teljesíti: (nemnegatív); (definit); (hermitikus - valós esetben a konjugálás elhagyható); és (lineáris a második argumentumban).
Minden, az előbbi tulajdonságokat teljesítő, belső szorzatos térben értelmezhető egy ||.|| norma következőképpen: .
H Hilbert-tér, ha H erre a normára nézve teljes, azaz minden H-beli Cauchy-sorozat konvergál.
Megjegyzések: Ebben a definícióban a skaláris szorzat a második argumentumban lineáris, az elsőben C-antilineáris, ez fordítva is működne, illetve használják is. Ha egy Hermite-féle alak értelmezve van a komplex vektortéren, akkor unitér térről beszélünk, valós esetben euklideszi vektortérről. Mivel minden Hilbert-tér unitér vagy euklideszi, érvényes benne a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség, a polarizációs formula és a paralelogrammaazonosság, valamint a Bessel-egyenlőtlenség és a Pitagorasz-tétel. A 3. tulajdonságban a felülvonás a komplex konjugálást jelöli, valós esetben a 3. tulajdonság a skaláris szorzat szimmetriája. Vegyük észre, hogy a norma definíciójában a gyök a norma homogenitása miatt szükséges.
Példák Az koordinátatér az valós skalárszorzattal A koordinátatér az skalárszorzattal A valós vagy komplex mátrixtér a Frobenius-skalárszorzattal A Szoboljev-tér minden esetén. Ezek képezik a parciális differenciálegyenletek megoldáselméletének alapját. A Hilbert-Schmidt-operátorok tere. A Hardy-tér és a valós Hardy-tér. Az sorozattér, melyet azok a sorozatok alkotnak, ahol a sorozat elemeinek négyzetösszege véges. David Hilbert ezt a teret vizsgálta. Fontossága abban áll, hogy minden szeparábilis végtelen dimenziós Hilbert-tér izometrikusan izomorf -tel. A négyzetesen integrálható függvények tere az skalárszorzattal. A majdnemperiodikus függvények tere, ami a következőképpen definiálható: Legyen , ehhez tekintjük azokat az függvényeket, ahol . Ellátjuk az teret az skalárszorzattal, így prehilbertteret kapunk. Ezt a teret teljessé téve jutunk az Hilbert-térhez, ami nem szeparábilis.
Ortogonalitás Két vektort ortogonálisnak mondunk, ha , gyakori jelölés: .
Egy S halmazt H-beli ortogonális rendszernek nevezünk, ha , és . Ha egy ortogonális rendszer nem bővíthető (maximális), akkor ortogonális bázis. Az ortogonális bázisok lineáris burka sűrű a Hilbert-térben. A lineáris algebrában megszokott értelemben ezek csak véges dimenziós esetben bázisok.
Egy S halmazt H-beli ortonormált rendszernek nevezünk, ha , és , ahol a Kronecker-delta. A Zorn-lemmával belátható, hogy minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa.
Egy véges ortonormált rendszerre érvényes a Pitagorasz-tétel és a Bessel-egyenlőtlenség (mint minden belső szorzatos térben). Azaz minden x-re H-ban:
Pitagorasz:
Bessel:
Bázis Definíció: A H Hilbert-tér egy maximális ortonormált rendszerét ortonormált bázisnak nevezzük. Azaz egy ortonormált bázis, ha B ortonormált rendszer, és B bármely -val való bővítés után, már nem ortonormált rendszer.
A Zorn-lemma (illetve a kiválasztási axióma) használatával megmutatható, hogy minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa.
Ha y egy H Hilbert-térbéli vektor és egy ortonormált bázisa H-nak, ahol I egy tetszőleges indexhalmaz, akkor:
, ahol csak megszámlálható sok -re nem nulla, és az összegzés független a sorrendtől. y kifejezése bázisvektorok soraként egyértelmű. Továbbá:
(Parseval tétel).
Ortonormált bázisokkal a Hilbert-terek teljesen osztályozhatók. Minden Hilbert-térben van ortonormált bázis, és egy Hilbert-tér ortonormált bázisainak kardinalitása megegyezik. Egy Hilbert-tér ortonormált bázisainak kardinalitása tehát jóldefiniált. Ezt nevezzük a tér Hilbert-dimenziójának, röviden dimenziójának. Ugyanazon test fölötti megegyező dimenziójú Hilbert-terek izomorfak, ugyanis a két bázis elemről elemre megfeleltethető egymásnak, és ez a megfeleltetés folytonosan kiterjeszthető az egész térre.
Alterek Egy Hilbert-altér egy Hilbert-tér olyan részhalmaza, ami a Hilbert-térben értelmezett vektorösszeadás, skalárral szorzás és skalárszorzás leszűkítésére szintén Hilbert-tér. Ez azt is jelenti, hogy altere, mint vektortérnek, hiszen ezek a kikötések feltételezik a nullvektor tartalmazását, és zárt a vektorösszeadásra és a skalárral szorzásra. Emellett még a skalárszorzásra is teljesnek kell lennie; ez ekvivalens azzal, hogy topológiai értelemben zárt. Emiatt a Hilbert-altereket zárt alterekként is emlegetik, szemben az egyszerűen csak altérként említett vektorterekkel. Általában ezek az alterek skalárszorzatos vektorterek, melyek sűrűek egy Hilbert-térben, ami lezárással kapható. Lehetséges Hilbert-alterekre hányadosteret képezni, ekkor szintén Hilbert-térhez jutunk.
Ez hasonló a Banach-terek esetéhez, melyek vektortéri értelemben vett alterei normált terek. Egy fontos különbség a projekciós tétel: Adva legyen egy Hilbert-tér, amiben kiválasztunk egy elemet, és egy Hilbert-alteret. Ekkor a Hilbert-altérben egyértelműen van egy vektor, melynek az adott vektortól mért távolsága minimális. Banach-terekben ez általában már véges dimenzióban sem igaz. Ez lehetővé teszi Hilbert-altér hányadosterének kanonikus azonosítását egy Hilbert-altérrel, ez az ortogonális komplementer; és az ortogonális vetítés bevezetését is. Egy Hilbert-altér ortogonális komplementere egy komplementer Hilbert-altér; azonban Banach-alterekhez általában nincs komplementer altér.
Definíció: Legyen , ekkor definiáljuk S ortogonális komplementerét:
.
Tétel: Legyen H egy Hilbert-tér, M pedig egy zárt altér H-ban. Ekkor
Konjugált Hilbert-tér Komplex Hilbert-terek esetén a skalárszorzás nem szimmetrikus; lineáris a második argumentumban, és szemilineáris az elsőben. Azonban definiálható a konjugált Hilbert-tér, a következőképpen: Legyen Hilbert-tér, és legyen a értelmezve ugyanazon az alaphalmazon, és legyen a vektorok összeadása is ugyanaz, mint -ban. A többi művelet: Skalárral szorzás: Skalárszorzás: . Ezekkel a műveletekkel szintén Hilbert-tér, konjugált Hilbert-tere. A konjugált Hilbert-tér konjugált Hilbert-tere, az eredeti Hilbert-tér.
Hilbert-terek közötti leképezések A funkcionálanalízisben vizsgálnak olyan terek közötti leképezéseket is, amelyek megtartják a terek struktúráját. Ezek a leképezések megtartják a vektortér struktúrát is, azaz lineáris leképezések, melyeket a funkcionálanalízisben lineáris operátoroknak neveznek.
A Hilbert-terek közötti lineáris operátorok fontos osztálya a folytonos lineáris operátoroké. Ezek megtartják a topologikus struktúrát, így a konvergenciát is. További fontos tulajdonságok valamilyen értelmű korlátosságot feltételeznek. A korlátosság ekvivalens a folytonossággal; így sokszor egyszerűen csak folytonos operátorokként emlegetik őket. A kompaktság egy erősebb követelmény. A Schatten-Neumann-osztályok a kompakt operátorok osztályának valódi alosztályai. Az operátorok osztályain szintén definiálnak normákat és operátortopológiákat.
Az unitér operátorok a Hilbert-terek természetes izomorfizmus fogalmát definiálják, mivel ezek éppen az izomorfizmusok a Hilbert-terek kategóriájában, a skalárszorzattartó lineáris leképezésekkel, mint morfizmusokkal. Ezek konkrétan a lineáris szürjektív izometriák, a szögek és hosszak megőrzésével.
A folytonos lineáris operátorokat meghatározza, hogy egy ortonormált bázist mire képez le. Valójában minden kardinális számhoz létezik valós és komplex Hilbert-tér is, melynek a dimenziója megegyezik az adott kardinális számmal, például az tér, ahol az indexhalmaz kardinális száma az adott kardinális szám: , ahol vagy , és a konvergencia érdekében előírjuk, hogy csak megszámlálható sok tag különbözik a nullától (lásd feltétlen kovergencia). Ezt a teret ellátjuk az
,
skalárszorzattal. Az tér egy ortonormált bázisát alkotják az vektorok, ahol . A Riesz-Fischer-tétel azt mondja ki, hogy minden Hilbert-tér izomorf egy ilyen térrel.
Riesz reprezentációs tétel
Definíció (duális tér): Egy H Hilbert-tér H* duális terén, a H-n értelmezett folytonos lineáris funkcionálok Banach-terét értjük, azaz
a folytonosság (mivel normált terek közötti lineáris leképzésről van szó) egyenértékű a leképzés operátornorma szerinti korlátosságával, azaz egy lineáris függvényre igaz:
Tétel (Riesz reprezentáció): Minden -hez létezik pontosan egy , úgy hogy minden x-re H-ban, és .
Vagyis a tétel azt mondja ki, hogy H duális tere egy Hilbert-tér, amely izometrikusan izomorf H-hoz. Ez az egyik leglényegesebb tulajdonsága a Hilbert-tereknek, és ez a tulajdonság különbözteti meg őket nagyban az általánosabb Banach-terektől. Komplex esetben a tétel hasonlóan működik, azzal a különbséggel, hogy a leképezés szemilineáris, tehát az operátor is szemilineáris. Mindkét esetben a Hilbert-tér izomorf a duális terével (egy szemiunitér operátor felbontható egy unitér és egy szemiunitér operátorra), így a Hilbert-tér izomorf a biduális terével, tehát a Hilbert-terek reflexívek.