A logaritmus két szám között értelmezett matematikai művelet, amely közeli kapcsolatban van a hatványozással. A pozitív b szám a alapú logaritmusán (ahol a egytől különböző pozitív szám) azt a kitevőt értjük, melyre a-t emelve b-t kapjuk. Például 1000-nek 10-es alapú logaritmusa 3, mert 10 harmadik hatványa 1000.
A b szám a alapú logaritmusát
jelöli, amely tehát az egyetlen valós szám, amelyre
Például , ugyanis, ha a 81-et a logaritmus alapjának, azaz a 3-nak hatványaként írjuk fel, akkor a kitevő 4 lesz:
A logaritmus képzése a gyökvonáshoz hasonlóan egy bizonyos értelemben a hatványozás megfordítása, de amíg a gyökvonás az összefüggés alapján az eredmény és a kitevő ismeretében keresi az alapot, addig a logaritmus az eredmény és az alap ismeretében a kitevőt határozza meg.
A logaritmust John Napier vezette be a 16. század végén, hogy megkönnyítse a szorzást, hatványozást tartalmazó számolásokat. Az elnevezés a görög „λόγος” (logosz, arány) és „ἀριθμός” (arithmosz, szám) szavak összetételéből származik. A számítások megkönnyítésére logarléceket és logaritmustáblázatokat készítettek, amelyek hamarosan elterjedtek a tengerészetben, a tudományokban és a mérnökök között. Ezek az eszközök a logaritmus azonosságait használják fel. A logaritmus mai jelölése Leonhard Eulertől származik, aki elsőként kapcsolta össze az exponenciális függvénnyel.
A 10-es alapú logaritmust a természettudományokban és a mérnöki tudományokban használják. Jelölése: . A természetes logaritmus alapja az e Euler-konstans (Euler-féle szám), és a matematikában széleskörűen alkalmazzák. Jelölése (matematikai szakszövegekben sokszor ). A 2-es alapú logaritmust a számítástudományban és az informatikában alkalmazzák. Jelölése egyszerűen , az alap kiírása nélkül. Német nyelvterületen erre az jelet használják.
A logaritmikus skálák kis tartományon széles tartományú mennyiségeket képesek ábrázolni. Így működik például a látás és a hallás. A decibel egy olyan viszonylagos egység, ami teljesítmények, vagy amplitúdók arányainak logaritmusát méri.Hasonló, de nem tízes, hanem természetes logaritmus felhasználásával definiált mértékegység a neper. A kémiában a pH a vizes oldatok kémhatását méri. A földrengések nagyságát is logaritmikus skálában mérik. A bonyolultságelméletben is megjelennek, például az összehasonlításos rendezések bonyolultsága legalább .
Az általánosan használt logaritmusfogalom tehát a pozitív valós számok körében érvényes, de kiterjeszthető a negatív és a komplex számokra is. A valós számokon a logaritmus – rögzített alap esetén – a hatványozás inverz művelete. Ez megmarad a komplex számok fölött is. Egy másik változat a diszkrét logaritmus, amit a kriptográfiában is használnak.
Jellemzés Ahogy a logaritmus definíciója is mutatja, a pozitív számokon értelmezett (egytől különböző, pozitív alapú)
függvény az a alapú exponenciális függvény inverze (egészen pontosan a képlet szerint a jobbinverze), vagyis az jelölést alkalmazva minden pozitív x számra . Emellett a logaritmusfüggvény balinverze is az a alapú exponenciális függvénynek: .Hajnal Imre: Matematika III.
Eszerint a logaritmus művelete a következő eljárással állítja elő a kimenetét. A az az utasítás, mely az x pozitív számot felírja az a alap valahányadik hatványaként, majd ennek a hatványnak a kitevőjét leolvassa és ezt adja értékül a kifejezésnek:
, chapter 1
Például log101000 = 3, log10100000 = 5, log101 000 000 000 = 9, illetve log1010n = n. A tízes alapú logaritmus tehát „a 0-kat számolja meg”. Így az A szám számjegyeinek száma 10-es számrendszerben az szám egészrésze. Általában c-es számrendszerben felírt A szám számjegyeinek száma: egészrésze.
Alternatív definíciók Egy alternatív definíció a logaritmus azonosságaira támaszkodik, de hatványsorával és a természetes logaritmus az integráljaként is definiálható, amiből a többi logaritmus az alap megváltoztatására szolgáló képlettel kapható. Ez az utóbbi két definíció nem vonatkoztatható a diszkrét logaritmusra.
A logaritmus egy izomorfiasereg, és más ilyen izomorfia nincs. A természetes logaritmus az integrállal kapható, ha t > 0. A logaritmus hatványsora: .
Mindezekről az összefüggésekről alább bővebben is szót ejtünk.
Jelölésrendszer A számításokban leggyakrabban a tízes és a kettes alapú logaritmust, valamint az e alapú ún. természetes logaritmust használják. Ezek jelölésére országonként és tudományáganként különböző rövidítések használatosak.
Magyarországon a 10-es alapú logaritmust leggyakrabban
jelöli (például középiskolai tankönyvekben is).Lásd például Hajnal Imre: Matematika III. Az angolszász mintára készült számológépeken a tízes alapú logaritmus jele log(x). A tízes alapú logaritmust még közönséges logaritmusnak is nevezik. Kézi számolásokhoz egyszerű használni a tízes számrendszerhez való alkalmazkodás miatt:, chapter 17, p. 275
Így a 10-es alapú logaritmus kapcsolódik a decimális jegyek számához: a számjegyek száma az a legkisebb egész, ami szigorúan nagyobb a szám 10-es alapú logaritmusánál., p. 20 Például . A következő egész a 4, ami valóban megegyezik a számjegyek számával. A függvénytáblázatból a logaritmus törtrésze, a mantissza olvasható ki; a karakterisztikát a felhasználónak kell megadnia a szám nagyságrendje alapján. Általában egy számrendszerben a szükséges számjegyek száma aszimptotikusan egyenlő a szám megfelelő alapú logaritmusával.
A másik gyakran használt logaritmus a természetes logaritmus, aminek az alapja az Euler-féle szám, az e. Ennek jele általában , ami a latin „logarithmus naturalis” (természetes logaritmus) kifejezés rövidítése. Gyakran azonban, főleg a számítástudományban log(x) jelöli a természetes logaritmust, míg a tízes alapút log10(x). A matematikai analízisben széleskörűen használják kellemes analitikai tulajdonságai miatt. Elterjedt a statisztikában, a gazdaságtani elméletekben, a fizikában, kémiában és egyes mérnöki alkalmazásokban is.
A kettes alapú logaritmust az információelméletben. és a számítógép-tudományban használják, alkalmazkodva a kettes számrendszerhez. Az információelméletben a természetes logaritmus is előfordul. A zeneelméletben szintén eleve adva van a kettes alap, mivel egy hang és oktávjának frekvenciájának aránya 2. A cent két szomszédos, egyenletesen temperált hang frekvenciájának arányának logaritmusa 1200-zal szorozva. A fényképészetben az expozíciós időt mérik kettes alapú logaritmikus skálán..
Tulajdonságok Alakja:
300px|Logaritmus függvények
Összefüggések A logaritmusfüggvény művelettartó leképezés a pozitív számok szorzással ellátott halmaza és a valós számok összeadással ellátott halmaza között. Az algebra szaknyelvén ez azt jelenti, hogy a függvény izomorfizmus a és az csoport között. A szorzásból összeadást csinál, az osztásból kivonást, az 1-ből 0-t. Mondhatjuk, hogy a logaritmus függvény a hatványozást szorzásra, a szorzást összeadásra vezeti vissza. Tetszőleges a pozitív, nem 1 számra és x, y pozitív számra:
Az azonosságok a logaritmus vagy definíciójából helyettesítéssel származtathatók.
Az összeg és a különbség logaritmusára ismert azonosság nem könnyíti meg a számolást:
tehát
Bármely logaritmus visszavezethető egy tetszőleges másik alapra:
A különböző alapú logaritmusfüggvények tehát egymás konstansszorosai.
A Nádor-Végh-tétel egy igen gyakran alkalmazott módszer, amely a fenti bázisátalakítási azonosságból vezethető le. A tétel kimondja, hogy ha egy logaritmus alapja és argumentuma is ugyanazon a hatványon szerepel, akkor a hatványkitevők leegyszerűsíthetők.
amennyiben: „n” egy 0-tól különböző pozitív valós szám.
A tudományos számológépek általában csak 10-es vagy természetes logaritmust tudnak számolni.
Egy adott x pozitív számnak még a logaritmusa is ismert egy ismeretlen b-re, akkor a b szám így számítható:
Obádovics J. Gyula: Matematika
Analitikai tulajdonságok A logaritmus mélyebb tanulmányozása a függvény fogalmára támaszkodik. Ez egy olyan reláció, ami értelmezési tartományának minden eleméhez hozzárendel egy, és csakis egy értéket. Ezekből az értékekből áll a függvény értékkészlete. A valós logaritmus, mint függvény a pozitív számokon értelmezett, és értéke befutja a teljes valós számkört.
Ahhoz, hogy a logaritmusfüggvény jóldefiniált legyen, meg kell mutatni, hogy a
egyenlet megoldható, és megoldása egyértelmű, ha b és y is pozitív, és b nem egyenlő eggyel. Ez a Bolzano-tétellel bizonyítható., section III.3 Eszerint egy folytonos függvény nem ugorhat át egy értéket; ha azon az intervallumon, ahol folytonos, felveszi az a és a b értékeket, akkor minden olyan értéket felvesz, ami a és b között van.
Ez megmutatható az függvényre a fenti kikötésekkel. Mivel f akármilyen kicsi és akármilyen nagy pozitív értékeket is felvesz, így minden számhoz található és alkalmas x0-ra és x1-re. Emiatt a Bolzano-tétel szerint megoldható. Továbbá, mivel f szigorúan monoton nő, ha b 1-nél nagyobb, és szigorúan monoton csökken, ha b 1-nél kisebb, a megoldás egyértelmű.
Ez az egyértelmű megoldás y b alapú logaritmusa, . A fenti kikötéseknek megfelelő b-vel, mint alappal az y-hoz annak logaritmusát hozzárendelő függvény a logaritmusfüggvény, vagy logaritmus.
A függvény alapvető jellemzője a fenti szorzatképlet:
Pontosabban, ha b > 1, akkor a logaritmus az egyetlen monoton növő függvény, ami eleget tesz az f(b) = 1 és függvényegyenlet-rendszernek. item (4.3.1)
Inverz függvény thumb|A logb(x) logaritmusfüggvény grafikonja (kék) megkapható a bx függvény grafikonjának (piros) tükrözésével az x = y egyenesre|alt=Két függvény grafikonja A hatvány logaritmusára vonatkozó képlet alapján minden x számra
Szavakkal: a b alapot x-edik hatványra emelve és ennek b alapú logaritmusát véve visszakapjuk a b számot.
Megfordítva, ha y pozitív szám, és
akkor először a logaritmust véve és erre emelve az alapot visszakapjuk az y számot. Tehát bármelyik műveletet végezzük előbb és a másikat később, mindannyiszor visszakapjuk az eredeti számot. Emiatt a b alapú logaritmus a b alapú hatványfüggvény inverz függvénye., section 1.6
Az inverz függvények közeli kapcsolatban állnak az eredeti függvénnyel. Grafikonjuk megkapható az x és az y koordináták felcserélésével, azaz az x = y egyenesre való tükrözéssel. A hatványfüggvény grafikonjának (t, u = bt) pontja az (u, t = logbu) pontot adja a logaritmus grafikonján, és megfordítva. Emiatt logb(x) tart a végtelenbe, ha x tart a végtelenbe, hogyha b nagyobb 1-nél. Ekkor logb(x) monoton nő. Ha b < 1, akkor a logb(x) függvény a mínusz végtelenhez tart. Ha x a nullához tart, és b > 1, akkor a logaritmus a mínusz végtelenhez tart; ha pedig b < 1, akkor végtelenhez tart.
Derivált és primitív függvény thumb|220px|A természetes logaritmus grafikonja (zöld) és érintője az x = 1,5 pontban (fekete)|alt=A logaritmusfüggvény grafikonja egy pontjához húzott érintőjével A függvények egyes analitikai tulajdonságai átvihetők az inverz függvényre. Ilyen tulajdonság a folytonosság és a differenciálhatóság. Így, mivel deriválható, ezért is differenciálható. Szavakkal: egy folytonos függvény ott deriválható, ahol nincs töréspontja. Továbbá, mivel deriváltja az exponenciális függvény tulajdonsága alapján, ezért a láncszabály szerint deriváltja:
Így a b alapú logaritmusfüggvény pontbeli érintőjének meredeksége . Továbbá deriváltja , eszerint határozatlan integrálja . Az általánosított függvény argumentummal:Bárczi Barnabás: Differenciálszámítás
A jobb oldalon álló hányados logaritmikus deriváltja. Az derivált kiszámítása felhasználásával logaritmikus differenciálás néven ismert., p. 386 Az primitív függvénye:
Más alapú logaritmusokra a logaritmus alapváltásával egy szorzótényező jelenik meg.
A természetes logaritmus mint integrál thumb|A t természetes alapú logaritmusa megegyezik az f(x) = 1/x grafikonja alatt besötétített területtel|alt=Egy hiperbola egy szakasza alatti terület szürkével beszínezve Ha t pozitív, akkor a természetes logaritmusa megegyezik 1/x dx integráljával 1-től t-ig: