Egy csoport részcsoportjai azok a nem üres részhalmazai, amik szintén zártak a csoport műveleteire, a szorzásra és az invertálásra nézve, és tartalmazzák az egységelemet. Ha a H csoport részcsoportja G-nek, akkor ennek jele . Minden csoportnak vannak részcsoportjai, részcsoport például az egységelemből álló egyelemű halmaz minden csoportban, és az egész csoport is részcsoportja önmagának. Részcsoportok metszete is részcsoport. Két részcsoport uniója akkor és csak akkor részcsoport, ha az egyik tartalmazza a másikat. A részcsoportok generálhatók. Egy csoport részcsoportjai hálót alkotnak a tartalmazásra, mint rendezésre, a halmazelméleti metszetre, mint metszetre, és a halmazelméleti unió általi generálásra, mint egyesítésre nézve.
Ekvivalens definíciók Egy G csoport H nem üres halmazára nézve ekvivalensek: H tartalmazza az egységelemet, zárt a szorzásra és az invertálásra
Tulajdonságok Az egyelemű csoportnak egy részcsoportja van, az egyelemű csoport, vagyis önmaga. Az összes többi csoportnak legalább két részcsoportja van, az egyelemű és önmaga, amik nem esnek egybe. Ezek a triviális részcsoportok. Akárhány részcsoport metszete is részcsoport. Egy csoport részcsoportjai teljes hálót alkotnak, amiben az egyelemű részcsoport a nullelem, és az egész csoport az egységelem. A részcsoportnak lenni reláció antiszimmetrikus, tranzitív és reflexív. Lagrange tétele szerint a részcsoport mérete osztja a tartalmazó csoport méretét. Ebből következik, hogy a prímrendű csoportoknak csak a két triviális részcsoportja van.
Generálás A részcsoportok generálhatók, azaz egy csoport minden részhalmaza generál egy csoportot. A generált részcsoport az a legkisebb részcsoport, ami a halmaz összes elemét tartalmazza. Belátható, hogy ez a csoport az egységelemből, a halmaz elemeiből és azok inverzeiből képzett véges hosszú szorzatokból (végtelen szorzathoz analízis kell) áll. Az E halmaz által generált csoport:
Az egy elem által generált csoportok ciklikus csoportok, és a generátorelem egész kitevős hatványaiból állnak. A ciklikus csoport mérete, vagyis rendje megegyezik generátoreleme rendjével.
Mellékosztályok Egy H részcsoport bal oldali, illetve jobb oldali mellékosztályai a hH, illetve a Hh alakú halmazok, ahol h eleme H-nak. A bal és a jobb oldali mellékosztályok száma megegyezik; ez a részcsoport indexe. Minden mellékosztály mérete megegyezik a részcsoport rendjével. Az azonos oldali mellékosztályok diszjunktak. Ha a jobb és a bal oldali mellékosztályok megegyeznek, akkor a részcsoport normálosztó. Ez alapján bizonyítható Lagrange tétele, hogy a tartalmazó csoport rendje megegyezik a részcsoport rendjének és indexének szorzatával.
Példák
nem részcsoportja -nak, mert más a művelet A szimmetrikus csoportban a páros permutációk részcsoportot alkotnak, az alternáló csoportot
Nyolcadrendű ciklikus csoport részcsoportjai Jelölje a Z8 ciklikus csoportot , ahol a művelet a modulo 8 összeadás:
+ 0 2 4 6 1 3 5 7 0 0 2 4 6 1 3 5 7 2 2 4 6 0 3 5 7 1 4 4 6 0 2 5 7 1 3 6 6 0 2 4 7 1 3 5 1 1 3 5 7 2 4 6 0 <span style="color: blue;">3 3 5 7 1 4 6 0 2 <span style="color: blue;">5 <span style="color: blue;">5 <span style="color: blue;">7 <span style="color: blue;">1 <span style="color: blue;">3 <span style="color: red;">6 <span style="color: red;">0 <span style="color: red;">2 <span style="color: red;">4 <span style="color: blue;">7 <span style="color: blue;">7 <span style="color: blue;">1 <span style="color: blue;">3 <span style="color: blue;">5 <span style="color: red;">0 <span style="color: red;">2 <span style="color: red;">4 <span style="color: red;">6
A nem triviális részcsoportok: J={0,4} és H={0,2,4,6}, ahol .
Az S4 szimmetrikus csoport részcsoportjai Az S4 szimmetrikus csoport részcsoportként tartalmazza a triviális részcsoportokat, valamint az egységelem és a másodrendű elemek által alkotott csoportokat. Ezeket a továbbiakban nem tüntetjük fel.
thumb|center|595px|A négy elem összes permutációját tartalmazó S4 szimmetrikus csoport
12 elemű részcsoportok thumb|center|323px| Az A4 alternáló csoport csak a páros permutációkból áll
Részcsoportjai:70px60px60px 60px 60px
8 elemű részcsoportok thumb|233px|8 rendű diédercsoportRészcsoportjai:70px70px70px thumb|233px|8 rendű diédercsoportRészcsoportjai:70px70px70px thumb|233px|8 rendű diédercsoportRészcsoportjai:70px70px70px
6 elemű részcsoportok thumb|187px| 6 rendű diédercsoportRészcsoportjai:60px thumb|187px|S3 szimmetrikus csoportRészcsoportjai:60px thumb|187px|S3 szimmetrikus csoportRészcsoportjai:60px thumb|187px|S3 szimmetrikus csoportRészcsoportjai:60px
4 elemű részcsoportok thumb|142px|Klein-csoport thumb|142px|Klein-csoport thumb|142px|Klein-csoport thumb|142px|Klein-csoport
thumb|142px| Z4 ciklikus csoport thumb|142px| Z4 ciklikus csoport thumb|142px|Z4 ciklikus csoport
3 elemű részcsoportok thumb|120px| Z3 ciklikus csoport thumb|120px|Z3 ciklikus csoport thumb|120px|Z3 ciklikus csoport thumb|120px|Z3 ciklikus csoport
További információk Alice és Bob - 24. rész: Alice és Bob komolyabb fegyverekhez nyúl Alice és Bob - 25. rész: Alice és Bob fontos párhuzamokat talál
Források Kiss Emil a részcsoportokról Kiss Emil a részcsoportok generálásáról Kurt Meyberg: Algebra - Teil 1. Hanser 1980,
Kategória:Csoportelmélet