Cauchy-féle ismétlődő integrálás lehetővé teszi egy függvény n antideriváltjának komprimálást egy integrálba. (vö. Cauchy-féle integráltétel)
Skaláris eset Legyen ƒ egy folytonos függvény a valós síkon. Akkor az ƒ függvény n-ik ismétlődő integrálja a alapon: , egyszerű integrálással: . A bizonyítás a teljes indukcióval: Mivel ƒ folytonos, az integrálás alapjának figyelembe vételével
és így
. Most feltételezzük: ez igaz n-re; n+1-re bizonyítandó, alkalmazzuk a láncszabályt. tekintsük a következő függvényt: ;
akkor :
és alkalmazva a “differenciálást integrálás jel alatt” módszert, kapjuk: . így:
továbbá . Ezért, ƒ függvény n-ik antideriváltja ƒ(-n), és ƒ(-k)(a)=0, az összes k-ra 1-től n-ig, megmutatva, hogy ƒ(-n)(x) egyenlő az eredeti ismételt integrállal.
Alkalmazások A frakcionális számolásban, ez a formula használható a differintegrál fogalomhoz, lehetővé téve a differenciálást vagy az integrálást.
Irodalom
Kapcsolódó szócikkek http://nrich.maths.org/1369 Cauchy-féle integráltétel Frakcionális számolás Riemann-integrálás Teljes indukció Láncszabály Antiderivált
Kategória:Valós analízis