A logaritmikus derivált egy függvény logaritmusának deriváltjáthttp://www.intmath.com/differentiation-transcendental/5-derivative-logarithm.php jelenti, definíció szerint , ahol f ′ az f függvény deriváltja
Ha f a valós x változó f(x) függvénye, és valós, szigorúan pozitív értékeket vesz fel, akkor egyenlő az ln(f) deriváltjával, vagy az f természetes logaritmusának a deriváltjával. Ez a láncszabályból következik.
Alapvető tulajdonságok Lényeges tulajdonsága, hogy nem függ f értékeinek mértékegységétől.
Közgazdaságtanban ezt rugalmasságnak szokás nevezni.
A valós logaritmus több tulajdonsága is vonatkozik a logaritmikus deriváltra, még abban az esetben is, amikor a függvény értékei nem pozitív valós számok.
Például, egy szorzat logaritmusa, az egyes tagok logaritmusának az összege, kapjuk:
Az általánosított Leibniz-törvényt is alkalmazhatjuk egy szorzat deriváltjára:
Így bármely függvényre igaz, hogy egy szorzat logaritmikus deriváltja az egyes tagok logaritmikus deriváltjának az összege (ha azok definiáltak). Hasonlóan (valójában ez az előbbiekből következik), egy függvény reciprokának a logaritmikus deriváltja a függvény logaritmikus deriváltjának a negáltja:
mivel egy pozitív valós szám reciprokának a logaritmusa, a szám logaritmusának a negáltja. Még általánosabban, egy hányados logaritmikus deriváltja, az osztandó és az osztó logaritmikus deriváltjainak a különbsége:
Egy másik irányban általánosítva, egy hatvány logaritmusa (valós, állandó kitevővel) az alap logaritmikus deriváltjának és az exponens szorzata:
Összefoglalva, mind a deriváltnak, mind a logaritmusnak van szorzatszabálya, reciprokszabálya, hányadosszabálya, és kitevőszabálya; mindegyik szabály kapcsolódik a logaritmikus deriválthoz.
Derivált számítás logaritmikus deriválttal
A logaritmikus derivált alkalmazása leegyszerűsítheti a derivált számítást, ahol szükség van a szorzatszabályra. A folyamat a következő: tegyük fel, hogy , és szeretnénk kiszámolni -et. Ahelyett, hogy közvetlenül számolnánk, a logaritmikus deriválttal számolunk:
ƒ-fel végigszorozva, lesz :
Ez a technika akkor nagyon hasznos, a ƒ sok tényező szorzata. Ez a technika lehetővé teszi kiszámítását, minden egyes tényező logaritmikus deriváltjának összegezésével, és megszorozva ƒ-fel.
Példák Az exponenciális növekedés és az exponenciális csökkenés, mind olyan folyamatok, ahol a logaritmikus derivált konstans. Pénzügyi matematikában, a görög λ a derivatív ár logaritmikus deriváltja.
Irodalom
Kapcsolódó szócikkek Derivált Szorzatszabály Reciprokszabály Hányadosszabály Kitevőszabály Exponenciális növekedés Exponenciális csökkenés http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/logdiffdirectory/LogDiff.html http://ltcconline.net/greenl/courses/116/explog/logderivative.htm
Jegyzetek
Kategória:Differenciálszámítás