A statisztikában a Basu-tétel azt állítja, hogy bármely komplett elégséges statisztika független bármely kiegészítő statisztikától.
Egy statisztika kiegészítő statisztika, ha az eloszlása nem függ θ-tól.
Ezt a tételt Debabrata Desu (indiai statisztikus) 1955-ben állította fel.Basu (1955)
A tételt gyakran alkalmazzák két statisztika függetlenségének bizonyítására.
Állítás Legyen Pθ egy eloszlás család az (X, Σ), mérhető térben. Akkor, ha T komplett elégséges statisztika θ-ra, és A kiegészítő statisztika θ-ra, akkor T független A-tól.
Bizonyítás Legyen PθT és PθA T és A marginális eloszlásai.
PθT nem függ θ-tól, mert A kiegészítő. Hasonlóképpen Pθ(•|T = t) nem függ θ-tól, mert T elégséges. Ezért:
Figyeljük meg az integranduszt ( függvény az integrálon belül), mely t függvénye, és nem θ-é. Ezért, mivel T komplett:
Így bizonyított, hogy A független T-től.
Példa Normális eloszlású minta középértéke és szórásnégyzetének a függetlensége.
Legyenek X1, X2, ..., Xn független, azonos eloszlású normális valószínűségi változók μ középértékkel és σ² szórásnégyzettel. Ekkor:
a minta középértéke, mely egy komplett elégséges statisztika – azaz, minden információ megkapható a μ becsléséhez, és nem több, továbbá:
a minta szórásnégyzete, mely egy kiegészítő statisztika – eloszlása nem függ μ-től. Így, a Basu-tételből következően, ezek a statisztikák függetlenek. A függetlenség a Cochran-tételből is levezethető. Továbbá, ez a tulajdonság, hogy a normális eloszlás középértéke és szórásnégyzete függetlenek, jellemzi a normális eloszlást – nincs más hasonló tulajdonságú eloszlás.
Irodalom
Kapcsolódó szócikkek Sűrűségfüggvény Középérték Szórásnégyzet Normális eloszlás Eloszlásfüggvény Valószínűségszámítás Statisztika Matematikai statisztika Burr-eloszlás https://web.archive.org/web/20190815202442/http://math.bme.hu/~nandori/Virtual_lab/stat/point/Sufficient.xhtml http://www.inf.unideb.hu/valseg/dolgozok/igloi/2002eload2(Basu).pdf
Jegyzetek
Kategória:Matematikai tételek Kategória:Statisztika Kategória:Valószínűségszámítás