A log-normális eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás, melyre az jellemző, hogy a valószínűségi változó logaritmusa normális eloszlású.
Ha X valószínűségi változó normális eloszlású, akkor Y=exp(X) log-normális eloszlású. Hasonlóképpen, ha Y log-normális eloszlású, akkor X=log(Y) normális eloszlású.
Ezt az eloszlást Galton-eloszlásnak is szokták hívni Francis Galton után, továbbá más elnevezések is előfordulnak, mint például: McAlister, Gibrat és Cobb–Douglas.
A változókat log-normálisként modellezik, ha független valószínűségi változók többszörös szorzataként jellemezhetők.(Ezt igazolja a log-tartományra érvényes központi határérték-elmélet).
Például a drót nélküli távközlésben az árnyékolás és a lassú fading jelenség okozta jelveszteséget log-normális eloszlásúnak tekintik.
A log-normális eloszlás egy X valószínűségi változóra nézve maximális-entrópia típusú valószínűség eloszlású, ha várható értéke és szórásnégyzete: .
Hely- és skálaparaméterek jobbra|bélyegkép|300px|Sűrűségfüggvény jobbra|bélyegkép|300px|Kumulatív eloszlás függvény
A normális eloszlás standardizálhatóságán alapul, hogy az X log-normális eloszlású valószínűségi változót egyértelműen jellemzi a μ és a σ értékpár. Ha
ahol Z egy standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor
Az összefüggés igaz függetlenül attól, hogy a függvény logaritmikus vagy exponenciális.
Ha loga(Y) normális eloszlású, akkor logb(Y) is az, bármely pozitív számra. Hasonlóképpen, ha normális eloszlású, akkor is az, ahol a egy pozitív szám, ami nem egyenlő 1-gyel. Logaritmikus ábrázolásnál, a μ és σ-t helyparaméternek, illetve skálaparaméternek hívják.
Jellemzők A log-normális eloszlású valószínűségi változó csak pozitív valós értéket vehet fel.
Sűrűségfüggvény A log-normális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:
(Ez a változók cseréjének szabályából következik) Kumulatív eloszlásfüggvény
ahol erfc a komplementer hibafüggvény, és Φ a standard normális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye.
Karakterisztikus függvény A karakterisztikus függvény, E[e itX] több megjelenítése is ismert.
Az integrálja konvergál Im(t) ≤ 0. A legegyszerűbb, ha Taylor-sorbafejtést alkalmazunk:
A soros megjelenítés divergál, ha σ2 > 0. Ez azonban elegendő a karakterisztikus függvény kiszámolására pozitív esetén, amíg a szumma felső határértéke érvényes, n ≤ N, ahol
és σ2 < 0.1.
Momentumok A hely- és skálaparaméterek ismerete esetén könnyebben használható a mértani középérték és a geometrikus szórás, mint az számtani középérték és a szórás.
Geometrikus momentumok A log-normális eloszlás mértani közepe: . Mivel a log-normális eloszlás logaritmusa szimmetrikus, és a kvantilisek monoton transzformáción megmaradnak, a mértani közepe (várható értéke) egyenlő a mediánnal.Leslie E. Daly, Geoffrey Joseph Bourke (2000) Interpretation and uses of medical statistics Edition: 5. Wiley-Blackwell , (page 89) A mértani közép (mg) levezethető az számtani középből (ma):
A mértani szórás:
Aritmetikai momentumok Ha X log-normális eloszlású valószínűségi változó, akkor a várható értéke (E, számtani középérték), szórásnégyzete (Var), és szórása (s.d.) a következő:
Fordítva: a μ és σ paraméterek megkaphatók, ha a várható érték és a szórásnégyzet ismert:
Bármely s valós vagy komplex számra és a log-normális X-re:
A log-normális eloszlást nem határozzák meg kizárólagosan a momentumai E[Xk] k ≥ 1 esetre, azaz létezik néhány más eloszlás is hasonló momentumokkal az összes k-ra. Valójában egy nagy eloszlás család létezik hasonló momentumokkal, mint a log-normális eloszlás.
Módusz és medián jobbra|bélyegkép|250px |Középérték, medián, módusz, különböző ferdeségek esetén
A módusz a sűrűségfüggvény maximális pontja. Elsősorban megoldja a (ln ƒ)′ = 0 egyenletet:
A medián az a pont, ahol FX = 1/2:
Szórási tényező
Egyéb összefüggés Egy adathalmaz, mely a log-normális eloszlásból származik, szimmetrikus Lorenz-görbe. A harmonikus (H), mértani (G) és számtani (A) közép (várható érték) kapcsolódik egymáshoz;name=Rossman1990>Rossman LA (1990) "Design stream flows based on harmonic means". J Hydraulic Engineering ASCE 116 (7) 946–950 és ez a kifejezés adja meg az összefüggést:
A log-normális eloszlások végtelenül oszthatók.
Alkalmazások Biológia: Élő szövetek méretei (hosszúság, súly, bőrfelület)) Inaktív emberi testrészek hosszúság (haj, köröm, fogak) egyes fiziológiás mérések (például : vérnyomás férfi/női populációnál) Hidrológia: Esőzési adatok (extrém értékek) Folyó áradások adatai Gazdaság: A lakosság jövedelme 97–99%-a log-normális eloszlást mutat.Clementi, F.; Gallegati, M. (2005) "Pareto's law of income distribution: Evidence for Germany, the United Kingdom, and the United States", EconWPA Pénzügyek Black-Scholes modell: átváltási ráták, árindexek, tőzsde mutatókBlack, Fischer and Myron Scholes, "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", Journal of Political Economy, Vol. 81, No. 3, (May/June 1973), pp. 637–654. Települések: Városok mérete log-normális eloszlású Megbízhatósági analízis: Karbantartási idők meghatározásánál log-normális eloszlást is használnak Drót nélküli kommunikáció: Mechanika: Súrlódási tényezők számítása
Irodalom
Jegyzetek
Külső hivatkozások A log-normális eloszlás a MathWorld-ön
Kategória:Valószínűség-eloszlások