A sorbanállási elméletben az M/M/1-típusú sorbanállásra jellemző, hogy egy kiszolgáló van, a rendszerbe érkezések a Poisson-folyamat szerint történnek, és a kiszolgálási idő exponenciális eloszlású. A megnevezés (M/M/1) a Kendall-féle jelölés szerint történt. Ez a típus a legegyszerűbb sorbanállási modell.

Meghatározás A sorbanállás véletlenszerű vagyis sztochasztikus folyamat, melynek állapottere {0,1,2,3...}, ahol a rendszerben lévő sorban állók száma megfelel a számoknak. Az érkezés egy Poisson-folyamatnak megfelelően történik, az érkezési sebesség λ, és az i – i+1 átmenet jelzi, hogy új sorban álló tag érkezett. A kiszolgálási idő exponenciális eloszlású μ paraméterrel. A sor elején egy kiszolgáló látja el a beérkezőket az FCFS-elv szerint (First Come, First Served, vagyis aki elsőnek jött, az lesz elsőnek kiszolgálva). Amikor a kiszolgálás megtörtént, az ügyfél (entitás) elhagyja a rendszert, és eggyel csökken a rendszerben az ügyfelek száma. A tároló (a kiszolgálás helye) végtelen nagy, így nincs korlátja a belépő ügyfelekre nézve.

Ezt a modellt a folytonos idejű Markov-lánccal lehet leírni a következő átmenetmátrixszal: .

Ez ugyanaz a mátrix, mint amivel a születés-halálozás folyamatot írják le.

Az állapottér {0,1,2,3,...}. középre|Az M/M/1-típusú sorbanállás állapottere

Az átmenet képlete Az M/M/1-típusú sorbanállási modellnél a t időtől függő valószínűségi tömegfüggvény írja le, hogy a modell egy adott állapotban van. Tegyük fel, hogy a sorbanállási folyamat a kezdetben i állapotban van, és a pk(t) valószínűség t időben és k állapotban: , ahol , és Ik a módosított elsőfajú Bessel-függvény.

Állandósult eloszlás Csak λ < μ esetben stabil a modell. Ha átlagosan, a beérkezések gyorsabban történnek, mint a kiszolgálások, akkor a sor végtelen nagyra nő, és a rendszernek nem lesz állandósult eloszlása. Az állandósult eloszlás a korlátozó tényező a nagy t-kre.

A rendszerben lévő ügyfelek száma Annak a valószínűsége, hogy az állandósult folyamat i állapotban van (i ügyfelet tartalmaz, beleértve a kiszolgálás alatt lévőket is):

Látható, hogy az ügyfelek száma a geometriai eloszlást követi 1−ρ paraméterrel. Így az ügyfelek átlagos száma: ρ/(1–ρ). .

A kiszolgáló foglaltsági periódusa A kiszolgáló foglaltsági periódusa az az idő, mely az ügyfél – az üres rendszerbe való -beérkezésének pillanatától számít addig, amíg az ügyfél elhagyja a rendszert, mely újra üres lesz.

A foglaltsági periódus valószínűségi sűrűségfüggvénye:

,

ahol I1 a módosított elsőfajú Bessel-függvény, Laplace-transzformációt alkalmazva, és invertálva az eredményt.

Az M/M/1-típusú sorbanállási modell foglaltsági periódusának Laplace-transzformáltja:

Válaszidő Az átlagos válaszidő (a teljes idő, amit az ügyfél a rendszerben tölt) a Little-törvény segítségével számolható ki, mivel 1/(μ−λ). Az átlagos várakozási idő: 1/(μ − λ) − 1/μ = ρ/(μ − λ).

Irodalom

Az M/M/1 sorbanállás

Jegyzetek

Kapcsolódó szócikkek M/D/1-típusú sorbanállás M/M/c-típusú sorbanállás M/G/1-típusú sorbanállás

Kategória:Sorbanállási elmélet