A Poisson-folyamat (IPA: vagy ) egy sztochasztikus folyamat, mely események számát és időközeit modellezi. A Poisson-folyamat olyan számláló folyamat, melynél a T1, T2, ... érkezések közötti idők exponenciális eloszlású független valószínűségi változók. A folyamatot Siméon-Denis Poisson francia matematikusról nevezték el, és többek között alkalmas a radioaktív bomlás, telefonhívások és webszerverek terhelésének modellezésére.
A Poisson-folyamat időben folytonos, és a Bernoulli-folyamat ellenpárjának tekinthető, mely diszkrét folyamat. A Poisson-folyamat egy tiszta születési folyamat, mely a születés-halálozás folyamat legegyszerűbb példája.
Meghatározás A Poisson-folyamat alapfolyamata egy időben folytonos számláló folyamat {N(t), t ≥ 0}, a következő tulajdonságokkal: N(0) = 0 Egymástól független növekmények jellemzik Stacionárius növekmények (bármely időközben az előfordulások számának eloszlása csak az időközök hosszától függ). Nincsenek szimultán események A fentiek következtében: N(t) eloszlása Poisson-eloszlás A várakozási idő a következő eseményre exponenciális eloszlású Bármely időközben az előfordulás egyenletes eloszlást mutat
Típusok Homogén folyamat
A homogén Poisson-folyamat egy Lévy-folyamat. Ezt a folyamatot egy λ paraméter jellemzi (intenzitás), és bármely (t, t + τ] időközben a bekövetkező események száma λτ paraméterű Poisson-eloszlást követ:
ahol N(t + τ) - N(t) = k a (t, t + τ] időközben bekövetkező események száma. Amíg a Poisson-féle valószínűségi változót az λ skalár paraméter jellemzi, a homogén Poisson-folyamatot a λ gyakoriság paraméter, mely az egységnyi idő alatt bekövetkező események várható száma. N(t) a mintavételes Poisson-folyamat, ami nem összetévesztendő a sűrűségfüggvénnyel vagy az eloszlásfüggvénnyel.
Inhomogén folyamat Ha a λ paraméter időben változhat, akkor inhomogén Poisson-folyamatról beszélünk. Az általános gyakorisági függvény λ(t). Az a és b idők között várható események száma:
így az (a, b] időintervallumban az érkezések száma N(b) - N(a) Poisson-eloszlású, a kapcsolódó λa,b paraméterrel:
Az λ(t) az inhomogén Poisson-folyamatban az idő determinisztikus függvénye, vagy egy független sztochasztikus folyamat, mely a Cox-folyamathoz vezet. A homogén Poisson-folyamat úgy is tekinthető, ahol λ(t) = λ, egy konstans gyakoriság.
Térbeli folyamat A térbeli (többdimenziós) változat az egydimenziós folyamattól a változók indexében változik. Több dimenzióban az index változó egy vektor térben (V) van. A vektor térben átlapolás mentes véges alrégiókban történnek az események, melyeknek Poisson-eloszlásuk van, és egymástól függetlenek.
Téridő folyamat Ez egy további változat a Poisson-folyamatra, amikor a tér és idő változókat egymástól külön kezeli. Ez felfogható úgy is, mint egy térbeli folyamat, ahol az idő is a vektortér egy komponense.
Jellemzés A Poisson-folyamatra két feltétel igaz: Szabályosság, azaz az érkezések nem egyszerre (nem szimultán) történnek:
Memória-mentesség, illetve örökifjú tulajdonság, azaz az egymás utáni beérkezési események függetlenek, és egy t időpontbeli esemény bekövetkezését nem befolyásolja a t időpont előtti események egyike sem. Ez azt is jelenti, hogy a Poisson-folyamatnál az egymást követő események közötti intervallumok függetlenek az események számától is. A homogén Poisson-folyamatnál ezek az események közötti idők exponenciális eloszlásúak konstans λ paraméterrel.
Alkalmazások Telefonhívások beérkezése Labdarúgómeccseken előforduló gólok Webszerverekhez beérkező kérelmek Részecske-emisszió radioaktív bomláskor (inhomogén Poisson-folyamat) Sorbanállás-elméletnél az ügyfelek-kiszolgálók sorbanállása sokszor Poisson-folyamat.Sundarapandian, V: Queueing Theory. Probability, Statistics and Queueing Theory.. . PHI Learning. 2009. A Palm–Khintchine-elmélet szerint sok alacsony intenzitású nem Poisson-féle pont folyamat igen közeli a Poisson-folyamathoz.
Irodalom
Jegyzetek
Kategória:Sztochasztikus folyamatok Kategória:Zajok