A matematikában a Hadamard-szorzat, más néven Schur-szorzat vagy elemenkénti szorzat egy kétváltozós művelet, aminek tényezői azonos dimenziójú mátrixok. A szorzatban álló elemek a tényezők megfelelő elemeinek szorzatai. Nevét a francia Jacques Hadamard vagy a német Issai Schur matematikusok után kapta. Jelölése szimbólummal történik.
Definíció Legyenek A és B ugyanolyan dimenziójú, m×n-es mátrixok. Ekkor A és B Hadamard-szorzata, A∘B is m×n-es mátrix, és .
Kifejtve:
Nem azonos méretű mátrixokra a Hadamard-szorzást nem értelmezzük.
Tulajdonságai Kommutatív (a közönséges mátrixszorzástól eltérően): Asszociatív: Disztributív a mátrixok összeadására: Identitásmátrixa az m×n-es mátrixok halmazán az az m×n-es mátrix, aminek minden eleme 1. Ez különbözik a szokásos identitásmátrixtól. Egy mátrix Hadamard-invertálható, ha egyik eleme sem nulla. A és a átlós mátrixokra, és főátlójukra mint és vektorokra teljesül:(Horn & Johnson 1991) ,
ahol az adjungáltja. Általában, csupa egy vektorokkal megmutatható, hogy a Hadamard-szorzat elemeinek összege egyenlő ABT nyomával. Négyzetes A és B mátrixok Hadamard-szorzatának sorösszege éppen az ABT főátlóján álló elemei: .
A Hadamard-szorzat a Kronecker-szorzat principális részmátrixa.
Schur szorzástétele Pozitív szemidefinit mátrixok Hadamard-szorzata is pozitív szemidefinit.(Styan 1973) Ez „Schur szorzástétele” néven ismert. Sőt, ha A és B pozitív szemidefinit, akkor
Programozási nyelvekben A Hadamard-szorzást egyes programozási nyelvek beépítetten tartalmazzák. A MATLAB nyelvben a .* számítja. Fortranban és Mathematicában egyszerűen a * jelöli, míg a közönséges mátrixszorzat rendre a matmul függvénnyel, illetve . jellel számítható. Pythonban a sympy szimbolikus matematikai függvénytár tartalmazza, az array() adattípushoz kapcsolódóan, míg a közönséges mátrixszorzáshoz a mátrix (matrix)osztályt kell használni. A kettő között beépített konverziókkal lehet váltani. Az Eigen C++ függvénytár rendszere hasonló. R-ben a Hadamard-szorzat alapértelmezett, a mátrixszorzás a matrix.A%*%matrix.B alakban valósítható meg.
Alkalmazása A Hadamard-szorzatot veszteséges tömörítő algoritmusok használják, például a JPEG.
Jegyzetek
Kategória:Lineáris algebra