A Cramer-szabály a lineáris egyenletrendszerek egyik megoldási módja. A megoldások az egyenletrendszerből képzett mátrixok determinánsainak hányadosaiként adódnak. Nevét Gabriel Cramer (1704–1752) svájci matematikusról kapta, aki 1750-ben először általánosan megfogalmazta.

A szabály Tekintsük a következő n darab n ismeretlenes lineáris egyenletből álló egyenletrendszert:

Ennek mátrixos felírása a következő:

ahol

Ha most Bi-vel jelöljük azokat az A-ból képzett mátrixokat, melyek i. oszlopa helyén a b vektor áll, azaz

és

akkor

minden i esetén (és 1 ≤ i ≤ n). Itt a a determinánsképzést jelöli.

Bizonyítása Mivel det(A) ≠ 0, ezért A invertálható mátrix. Jelölje A inverzét A−1. Szorozzuk meg az Ax = b egyenlet mindkét oldalát balról A−1-zel, ekkor

ahol az adj(A) az A mátrix adjungáltját jelöli. Részletesen felírva az adjungáltat azt kapjuk, hogy

ahol az Aij az A mátrix i-edik sorához és j-edik oszlopához tartozó előjeles aldetermináns értéke. A fenti mátrixszorzást soronként elvégezve oda lyukadunk ki, hogy minden i-re

és a tört számlálójában éppen a Bi determinánsa szerepel az i. oszlopa szerint kifejtve.

Példa Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert!

A Cramer-szabály segítségével a megoldások a következők:

Ellenőrzés: -15 + 3·8 – 2·2 = -15 + 24 – 4 = 5. 3·(-15) + 5·8 + 6·2 = -45 + 40 + 12 = 7. 2·(-15) + 4·8 + 3·2 = -30 + 32 + 6 = 8.

Megjegyzések A megoldhatóság esetei: Ha det(A) = 0 Ha det(A) ≠ 0 Ha azaz az egyenletrendszer homogén Az triviális megoldás mellett további megoldások léteznek, de felkutatásukra a Cramer-szabály nem használható, más módszerek szükségesek a kiszámításukhoz, például az LU felbontás Egy triviális megoldás van, az a Cramer-szabály használható, de felesleges Ha azaz az egyenletrendszer inhomogén A Cramer-szabály nem használható, de lehetséges, hogy vannak megoldások. A Kronecker–Capelli-tétel szerint ellenőrizni kell, hogy az eredeti és a kibővített mátrix rangja megegyezik-e. Ha van megoldás, akkor az a rangok Gauss-eliminációval való meghatározása során előáll. Egy megoldás van és megtalálására a Cramer-szabály használható Ha kevesebb egyenletünk van, mint ahány ismeretlen, akkor nem alkalmazható. Nagy n-ek esetén a determinánsok kiszámolása hosszadalmas, ezért más megoldási módszereket használnak.

Külső hivatkozások

2 és 3 ismeretlenes lineáris egyenletrendszereket megoldó honlap

Kategória:Lineáris algebra