A Lambert-sor a matematikában egy
alakú sor. Formálisan átírható a következőképpen:
ahol az új sor együtthatói an és a konstans 1 függvény Dirichlet-konvolúciójával számítható ki:
Ez a sor a Möbius-féle megfordítási formulával invertálható, és a Möbius-transzformáció egy példája. Példák Mivel ez az utóbbi tipikus számelméleti összeg, majdnem minden multiplikatív számelméleti függvény egzaktul összegezhető, ha Lambert-sorként van megadva. Így például
ahol az n szám pozitív osztóinak száma.
Magasabb rendű osztófüggvényekre
ahol tetszőleges komplex szám, és
az osztófüggvény.
Azok a Lambert-sorok, amelyekben an-nek trigonometrikus függvények, például an = sin(2n x), a Jacobi-féle théta-függvények logaritmikus deriváltjainak különféle kombinációiként értékelhetők ki.
A többi ismert Lambert-sor közé tartozik a Möbius-függvényé:
A Euler-függvény:
A Liouville-függvény:
ahol a bal oldali összeg a Ramanudzsan-féle théta-függvényhez hasonló.
Alternatív alak Elvégezve a helyettesítést a sor egy másik, gyakran használt alakját kapjuk:
ahol
mint előbb. A Lambert-sor ebben az alakjában, helyettesítéssel a Riemann-féle zéta-függvény definíciójában látható páratlan egész értékeire. Alkalmazása
Az irodalomban különféle összegeket neveznek Lambert-sornak. Például, mivel polilogaritmikus függvény, ezért minden
alakú sort nevezhetünk Lambert-sornak, feltéve, hogy a paraméterek megfelelők. Emiatt
ami teljesül minden komplex q-ra, ami nincs az egységkörön, és ez a Lambert-sorra vonatkozó azonosságnak tekinthető. Ez következik több, Ramanudzsan által kiadott azonosságból. Ramanudzsan munkásságának nagy részét Bruce Berndt dolgozta fel.
Források
* Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,
Fordítás
Kategória:Analitikus számelmélet