A kobordizmus a matematikában egy alapvető ekvivalenciareláció az azonos dimenziójú kompakt sokaságokon, ami a sokaságok határára utal. Két azonos dimenziójú kompakt sokaság kobordáns, ha van olyan eggyel magasabb dimenziójú sokaság, amit diszjunkt uniójuk határol.
Egy (n + 1) dimenziós W sokaság határa ∂W egy n dimenziós sokaság, ami zárt, vagyis határa az üres halmaz. Megfordítva azonban egy zárt sokaság nem szükségképpen határol egy magasabb dimenziós sokaságot. A kobordizmus elmélete azt is tanulmányozza, hogy milyen további feltételek jellemzik a határoló sokaságokat. Az elmélet eredetileg a sima sokaságokkal foglalkozott, de később kiterjedt a szakaszonként lineáris és a topologikus sokaságokra is.
Ha M és N kobordáns sokaságok, akkor kobordizmusuk egy W sokaság, aminek határa M és N diszjunkt uniója, azaz .
A kobordizmusokat úgy is tanulmányozzák, mint relációkat, és úgy is, mint sokaságokat. A kobordizmus durvábban osztályoz, mint a diffeomorfia és a homeomorfia; könnyebb vele számolni és bizonyításokat végezni. Legalább négy dimenzióban nem lehet osztályozni a sokaságokat homeomorfia és diffeomorfia szerint, ami a csoportelméleti szóprobléma megoldhatatlanságára vezethető vissza. Ez azonban nem jelent akadályt a kobordizmus számára, így kobordizmus erejéig ezekben a dimenziókban is osztályozhatók maradnak a sokaságok. A kobordizmusok központi objektumok a geometriai és az algebrai topológiában. A geometriai topológiában közvetlenül kapcsolódnak a Morse-elmélethez, és a h-kobordizmus alapvető a magasabb dimenziós sokaságok tanulmányozásában (lásd operációelmélet). Az algebrai topológiában a kobordizmus alapvető a rendkívüli kohomológiaelméletek között, és a kobordizmusok kategóriáit a topológiai kvantummező-elméletek tanulmányozzák.
Definíció Sokaságok Ha M egy n dimenziós sokaság, akkor lokálisan homeomorf az n dimenziós valós tér ( ) egy darabjával. A határos sokaság egyes pontjaira megengedett, hogy olyan környezetük legyen, ami homeomorf az féltérrel. Ezek a pontok a sokaság határpontjai.
Kobordizmusok Egy (n + 1) dimenziós kobordizmus egy (W; M, N, i, j) ötös, ahol W egy (n + 1) dimenziós kompakt differenciálható határos sokaság, M, N zárt n-sokaságok, és i : M ⊂ ∂W, j : N ⊂ ∂W beágyazások. Ezeknek a beágyazásoknak a képei diszjunktak,
Ezt általában rövidítve használják, formája (W; M, N). M és N kobordánsak, ha van ilyen kobordizmus. Egy adott M-mel kobordáns sokaságok M kobordizmusosztályát alkotják.
Minden zárt M sokaság határa a nem kompakt M × [0, 1) sokaságnak. Ezért megkövetelik, hogy a fenti W kobordizmus kompakt sokaság legyen. Jegyezzük meg azonban, hogy az összefüggőség nem követelmény; emiatt, ha M = ∂W1 és N = ∂W2, akkor M és N kobordánsak.
Példák
A legegyszerűbb példa az I = [0, 1] egységintervallum. Ez egy dimenziós kobordizmus a {0}, {1} 0 dimenziós sokaságok között. Általában, minden zárt sokaságra M, (M × I; {0}, {1}) kobordizmus M × {0} és M × {1} között.
Ha M egy körből, N pedig két körből áll, akkor egy nadrág kobordizmus M és N között. Egy egyszerűbb kobordizmus három diszjunkt zárt körlemez.
A nadrág egy általánosabb elvet illusztrál: bármely M n dimenziós sokaságra az diszjunkt unió kobordáns az összefüggő összeggel. Ebből a fenti példa azzal kapható, hogy az összefüggő összeg izomorf -gyel. Az összefüggő összeg az diszjunkt unióból kapható operációval az beágyazásán -be. A kobordizmus az operáció nyoma.
Terminológia Egy n-sokaság nullkobordáns, ha kobordáns az üres halmazzal, más szóval, ha egy n+1-sokaság határa. Például a kör nullkobordáns, mivel körlemezt határol, és hasonlóan, a magasabb dimenziós gömbfelületek is nullkobordánsak. Minden irányítható felület nullkobordáns, mert több összeragasztott tóruszból álló test határoló felülete. Viszont a 2n dimenziós valós projektív tér, habár kompakt és zárt, nem nullkobordáns, mert nem határol sokaságot.
Az általános kobordizmusprobléma a különféle feltételeknek eleget tevő sokaságok kobordizmusosztályainak megállapítását tűzi ki.
A nullkobordizmusok a kitöltő struktúrával együtt kitöltést alkotnak. Vannak szerzők, akik a bordizmust a kobordizmussal felcserélhetőnek tartják, míg mások megkülönböztetik őket. Ha valaki meg akarja különböztetni a sokaságot a relációtól, akkor a sokaság a kobordizmus, a reláció a bordizmus.
A kobordizmus szó a francia bord szóból ered, ami határt jelent. A ko- előtaggal együtt közösen határolót jelent, így M és N kobordáns, ha közösen határolnak egy sokaságot. Továbbá a kobordizmuscsoportok rendkívüli kohomológiaelméletet alkotnak, ami egy további kapcsolódási pont a ko- előtaghoz.
Változatok A fenti definíció a legalapvetőbb változat, amire irányítatlan bordizmusként is utalnak. A sokaságok lehetnek irányítottak, vagy hordozhatnak további struktúrát is, például G-struktúrát. Eszerint értelmezhető az irányított kobordizmus és a G-struktúrák kobordizmusa. Megfelelő feltételek teljesülése esetén ezek gyűrűt alkotnak, az kobordizmusgyűrűt, ahol az összeadás a diszjunkt unió és a szorzás a Descartes-szorzat. Az kobordizmuscsoportok az általánosított homológiaelmélet együtthatócsoportjai.
Ha további struktúra is van, akkor azt a jelölésnek is tartalmaznia kell; W struktúrája M és N struktúrájának bővítése. A G = O irányítatlan kobordizmusra, G = SO irányított kobordizmusra, és G = U komplex kobordizmusra utal, ami stabil komplex sokaságokat használ. További részletekért lásd Stong könyvét.
Hasonlóan, az operációelméletben a normál leképezések operációja egy standard eszköz. Ezzel a normális leképezésből egy másik, ugyanahhoz a kobordizmusosztályhoz tartozó normális leképezést kapunk.
A vizsgált sokaságok típusa alapján is lehet különbséget tenni, így a differenciálható sokaságokon kívül vizsgálhatók szakaszonként lineáris vagy topologikus sokaságok is. Ezekből adódnak a kobordizmuscsoportok, amiket nehezebb számítani, mint a differenciálható sokaságokat.
Konstrukciók operációval Emlékeztetőül jegyezzük meg, hogy ha X, Y határolt sokaság, akkor a szorzat sokaság határa ∂(X × Y) = (∂X × Y) ∪ (X × ∂Y).
Ha most adva van egy n = p + q dimenziós M sokaság, és a beágyazás, akkor definiáljuk az N n dimenziós sokaságot a következőképpen:
ami operációkkal: kivágjuk belsejét, és összeragasztjuk az -nek a határuk mentén
Az operáció nyoma
egy elemi (W; M, N) kobordizmust definiál. Jegyezzük meg, hogy M az N-ből a sokaságon végzett operációval kapható. Ezt az operáció megfordításának nevezzük.
Minden kobordizmus elemi kobordizmusok uniója, ahogy azt Morse, Thom és Milnor megmutatta. Példák az operációra
A fenti definíció alapján egy körön végzett operáció az egy másolatának kivágásából és a sokaságba való ragasztásból áll. Ahogy az 1. ábra mutatja, vagy egy , vagy két az eredmény.
A 2-gömbön végzett operációra több lehetőség is adódik, mivel kivághatunk egy sokaságot vagy egy sokaságot.
(a) : A henger eltávolításával a gömbből két körlemez marad vissza. Ezeket odaragasztjuk -hez, aminek az eredménye két diszjunkt gömb. (2a. ábra)
(b): A két körlemez kivágásával az hengerbe ragasztunk vissza. A ragasztó leképezés irányától függően két eredmény lehetséges. Ha a leképezés iránya megegyezik a határkörök irányításával, akkor egy tóruszt kapunk. Ha különbözik, akkor az eredmény egy Klein-palack (2c. ábra).
Morse-függvények Tegyük fel, hogy f Morse-függvény egy (n + 1) dimenziós sokaságon, és hogy c kritikus érték, aminek ősképe egy elemű. Ha ennek a pontnak az indexe p + 1, akkor az N := f−1(c + ε) szinthalmaz megkapható az M := f−1(c − ε) sokaságból p-operációval. A W := f−1([c − ε, c + ε]) inverz kép egy (W; M, N) kobordizmust definiál, ami azonosítható az operáció nyomával.
Adott (W; M, N) kobordizmushoz van egy f : W → [0, 1] sima függvény úgy, hogy f−1(0) = M, f−1(1) = N. Általános helyzetben feltehető, hogy f Morse, így minden kritikus pontja W belsejébe esik. Ekkor f a kobordizmus Morse-függvénye. A (W; M, N) kobordizmus az M-en végzett operációsorozatok nyomainak uniója, és f minden egyes kritikus pontjához tartozik egy. A W sokaság M × [0, 1]-ből kapható, ha annyi fület (handle) teszünk rá, ahány kritikus pontja van f-nek.
A Morse/Smale-tétel szerint egy kobordizmus f Morse-függvényének folyamvonalai a (W; M, N) fülfelbontását adják. Megfordítva, ha ismert egy kobordizmus fülfelbontása, akkor az egy alkalmas Morse-függvényből származtatható. Megfelelően normalizált körülmények között ez egy-egyértelmű megfeleltetést ad a kobordizmus Morse-függvényei és fülfelbontásai között.
Kategóriaelméleti aspektusok A kobordizmusok saját jogukon tanulmányozható objektumok, eltekintve a kobordizmusosztályoktól. A kobordizmusok kategóriát alkotnak, aminek objektumai a zárt sokaságok és morfizmusai a kobordizmusok. A kompozíció a bordizmusok összeragasztása határuknál; az (W; M, N) és (W′; N, P) összeragasztása azonosítja az első bordizmus jobb határát a második bordizmus bal határával. A kobordizmus a kospan egy fajtája: M → W ← N, de a kobordizmusok kategóriája nem a kospan kategória, csak annak egy alkategóriája. Az viszont igaz, hogy tőrkompakt kategória.
Egy topológiai kvantummező-elmélet monoideális funktor a kobordizmusok kategóriájából a vektorterek kategóriájába. Azaz ez egy funktor, aminek értéke sokaságok diszjunkt unióján ekvivalens a tagokon felvett értékeinek tenzorszorzatával.
Alacsony dimenzióban a bordizmus kérdése triviálisan megválaszolható, de a kobordizmusok kategóriája továbbra is érdekes. Például a körvonalhoz ragasztott körlap megfelel egy nulláris műveletnek, míg a henger egy unáris műveletnek, a nadrág pedig egy bináris műveletnek feleltethető meg.
Irányítatlan kobordizmus Az n dimenziós irányítatlan és zárt sokaságok kobordizmusainak halmazát jelöli. A diszjunkt unióval ellátva Abel-csoportot alkot. Speciálisan, ha [M] és [N] rendre az M és N kobordizmusosztályait jelöli, akkor . Ez egy jóldefiniált művelet. Az egységelem, illetve additív jelölés miatt nullelem az osztály, ami azokat a sokaságokat tartalmazza, amelyek önmagukban egy sokaságot határolnak. Továbbá minden M sokaságra teljesül, hogy , mivel . Ezzel vektortér az két elemű test fölött. A sokaságok Descartes-szorzata egy szorzást definiál, így
fokozatos algebra, ahol a fokozatok a dimenziók.
Az kobordizmusosztályt meghatározza az n dimenziós M sokaság Stiefel–Whitney-féle karakterisztikus száma, ami az érintő bundle stabil izomorfizmusosztályaitól függ. Ezért, ha M-nek van stabil triviális érintő bundle-ja, akkor . 1954-ben René Thom bizonyította, hogy
az generátoros polinomalgebra minden dimenzióban. Emiatt két n dimenziós sokaság, N és M kobordáns, akkor és csak akkor, ha az egészek minden k-asára, ahol a
Stiefel-Whitney-számok, ahol az i-edik Stiefel-Whitney-osztály, és az -együttható fundamentális osztály.
Páros i esetén választhatjuk, hogy , ami az i dimenziós projektív tér osztálya.
Az alacsony dimenziós irányítatlan kobordizmuscsoportok:
Ez mutatja, hogy például az irányítatlan három dimenziós zárt sokaságok határolt négy dimenziós sokaságot határolnak.
Az M irányítatlan sokaság Euler-karakterisztikája irányítatlan kobordizmusinvariáns. Ez következik az alábbi egyenletből:
minden kompakt sokaságra, aminek határa .
Innen jóldefiniált csoporthomomorfizmus. Például minden -ra:
Például a valós topologikus terek szorzata nem nullkobordáns. A mod 2 Euler-karakterisztika leképezés minden -re, és csoportizomorfizmus, ha
Továbbá, mivel , ezek a csoporthomomorfiák együtt kiadják fokozatos algebrák homomorfiáját:
További szerkezettel ellátott sokaságok kobordizmusa A kobordizmus azokra a sokaságokra is definiálható, amelyek további szerkezettel is bírnak, például irányítottak. Ezt formálisan X-szerkezettel, más néven G-szerkezettel definiálják., chapter 12 Röviden, az M egy immerziójának egy ν normális bundle-ja egy elég nagy dimenziójú euklidészi térbe leképezést ad M-ről a Grassmannianba, ami az ortogonális csoport klasszifikáló terének altere: ν: M → Gr(n, n + k) → BO(k). Terek és leképezések Xk → Xk+1 leképezésekkel adott halmaza,