A komplex analízisben egy holomorf függvény megszüntethető szingularitása egy pont, ahol a függvény nincs definiálva, de ki lehetne terjeszteni a függvényt úgy, hogy értelmezve legyen ebben a pontban, és reguláris maradjon.
Például a (nem normalizált) sinc függvénynek:
megszüntethető szingularitása van nullában, a megfelelő érték sinc(0) := 1. Ez a sincfüggvény határértéke, ha változója, z tart a nullához. A kibővített függvény holomorf. A probléma abból fakadt, hogy a függvényt határozatlan formában adták meg. A hatványsora:
Formálisan, ha nyílt részhalmaza a komplex síknak, komplex szám -ban, és holomorf, akkor megszüntethető szingularitása, hogyha van egy függvény, ami megegyezik -fel ott, ahol az definiálva van. Azt mondjuk, hogy holomorf módon kiterjeszthető -ra, ha létezik ilyen függvény.
Riemann-tétel Riemann tétele a megszüntethető szingularitásokról:
Legyen tartomány, és , továbbá holomorf függvény. Ekkor, ha van -nak egy környezete -ben úgy, hogy korlátos -ban, akkor egyértelműen van egy egészfüggvény, hogy . egyértelműségét a holomorf függvények identitástétele biztosítja.
Sőt, a tétel egy másik megfogalmazása:
Legyen a komplex sík nyílt részhalmaza, komplex szám -ben, és holomorf -ban. A következők ekvivalensek:
kiterjeszthető holomorf módon -ra. folytonosan kiterjeszthető -ra. Van -nak környezete, ahol korlátos. .
A tétel megfordítása A tétel megfordítása ez:
Ha holomorf függvény egy környezetében, és megszüntethető szingularitás, akkor korlátos egy környezetében.
A megfordítás a folytonosság következménye. Ez különbözteti meg a megszüntethető szingularitást a többi szingularitástól, a lényeges szingularitástól és a pólustól. Alkalmazása A tétel felhasználható további bizonyításokhoz. Például belátható vele, hogy nincs a pontozott komplex síkon holomorf négyzetgyök függvény. Formálisan, nincs olyan a halmazon holomorf függvény, amikre minden esetén.
Indirekt feltéve, hogy mégis, abszolútértékére ekkor teljesül . Eszerint korlátos egy környezetében, tehát a Riemann-tétel szerint kiterjeszthető teljes -re holomorf módon. Ez azt is jelenti, hogy itt folytonosan differenciálható, és deriváltja .
Az identitástétel miatt -nek és deriváltjának meg kell egyeznie -ban. Azonban itt a deriváltnak a 0-hoz közeledve minden határon túl kell nőnie, így a határérték nem létezhet:
Kategória:Komplex analízis