A matematikában, azon belül a gyűrűelméletben a főideálgyűrű olyan integritási tartomány, amelyben minden ideál főideál, azaz egyetlen elem generálja. A főideálgyűrű kifejezést az angol principal ideal domain elnevezés alapján gyakran PID-nek rövidítik.
Bizonyos szövegekben főideálgyűrű alatt olyan gyűrűt (és nem feltétlenül integritási tartományt) értenek, amiben minden ideál főideál. Ebben az esetben az angol principal ideal ring alapján a PIR rövidítés használatos. Ebben a szócikkben főideálgyűrűk alatt mindig integritási tartományt értünk.
A főideálgyűrűk az egész számok közeli általánosításai: igaz bennük a számelmélet alaptétele és bármely két elemnek van legnagyobb közös osztója, habár azt nem feltétlenül lehet euklideszi algoritmussal előállítani. (Az olyan gyűrűt, amikben az euklideszi algoritmus működik, euklideszi gyűrűnek nevezzük; minden euklideszi gyűrű főideálgyűrű.)
Példák Bármely test. A polinomgyűrű, ahol test. A megfordítás is igaz: ha PID, akkor test. Az egész számok gyűrűje. A Gauss-egészek gyűrűje. Az Eisenstein-egészek gyűrűje, ahol primitív harmadik egységgyök. Bármely diszkrét értékelésgyűrű, például a p-adikus egészek gyűrűje. Nem főideálgyűrűk a következők: A polinomgyűrűben a ideál nem generálható egyetlen elemmel. A polinomgyűrű ( test): az ideál nem generálható egyetlen elemmel.
Tulajdonságok Ha PID és , akkor a legnagyobb közös osztójuk az ideál generátorelemeként kapható meg. Minden alaptételes gyűrű (UFD) főideálgyűrű, de a megfordítás nem igaz: UFD, de nem PID. Minden főideálgyűrű Dedekind-gyűrű, ugyanis Noether-tulajdonságú, minden nemnulla prímideál maximális (ennek megfordítása általánosan is igaz) és egészre zárt. Egy integritási tartomány akkor és csak akkor PID, ha minden prímideál főideál. A főideálgyűrűk pontosan az alaptételes Dedekind-gyűrűk.
További információk Alice és Bob - 19. rész: Alice és Bob ideáljai
Fordítás
Kategória:Gyűrűelmélet