A matematikában, azon belül az absztrakt algebrában a csoportelmélet a csoport nevű algebrai struktúrával foglalkozik. A csoport fogalma központi szerepet játszik az absztrakt algebrában: más fontos algebrai struktúrák, mint a gyűrűk vagy a vektorterek, mind felfoghatóak műveletekkel és axiómákkal kiegészített csoportokként.
Különböző fizikai rendszerek, mint a kristályok vagy a hidrogénatom, modellezhetőek szimmetriacsoportokkal. Ezért a csoportelméletnek és az azzal közeli kapcsolatban álló ábrázoláselméletnek rengeteg alkalmazása van a fizikában és a kémiában.
Történet
Tudománytörténeti szempontból a csoportelméletnek két fő ágát vagy irányát különböztethetjük meg: egy „elméletit” és egy „alkalmazottat”. A csoportfogalom felfedezése elsősorban „elméleti” okoknak, az algebrai egyenletek vizsgálatának köszönhető. Csoportok elméletének alapjait az 1830-as években rakta le Évariste Galois francia matematikus, és halála miatt 1846-ban publikálta Joseph Liouville.
Már Lagrange észrevette, hogy a gyökök permutálásának egymás utáni elvégzése ismét a gyökök egy permutációját eredményezi, sőt vannak az összes permutáción belül olyan még kisebb csoportok, melyek „együtt maradnak” (azaz a csoport elemeinek permutálása csoportbeli elemmel nem ad a csoporton kívüli elemet). Az erre irányuló vizsgálatokat Augustin Cauchy, Niels Henrik Abel és Évariste Galois folytatta. Így alakult ki az első fontos csoportelméleti fogalom, a permutációcsoport fogalma. Galois ezek segítségével oldott meg egy régi és nagyon nehéz problémát, az algebrai egyenletek gyökképlettel való megoldhatóságának problémáját. A „csoport” elnevezés is tőle származik.
A csoportaxiómáknak megfelelő tulajdonságok (kommutativitás, asszociativitás stb.) bevezetését az angol algebrai iskola már korábban megtette; erre alapozva Arthur Cayley vezette be a csoport absztrakt fogalmát, s ezzel a csoportelmélet meghaladta a puszta permutációcsoportok elméletét (lehetővé téve a másféle, igen fontos alkalmazásokat). Cayley nevéhez fűződik annak az egyszerű tételnek a bizonyítása, hogy „lényegében minden csoport egy permutációcsoport” (reprezentációs tétel). Ő vezette be a művelettábla (Cayley-tábla)), a Cayley-gráf és a hasonló, a szemléltetést könnyítő hasznos fogalmakat. Richard Dedekind kiterjesztette a csoport fogalmát kommutatív csoportokra is.
Az első komoly alkalmazások (már ha Galois eredményét szintén elméletinek tekintjük) Felix Klein (ld. erlangeni program) és Sophus Lie nevéhez fűződnek.
A csoportelméletnek ma különösen nagy szerepe van más tudományokban is: a „kristályosodási csoportok” a kémiában és geológiában, bizonyos transzformációk szimmetriacsoportjai pedig az elméleti fizikában központi jelentőségűek.
A csoport definíciói, alapfogalmak
A csoport olyan egyműveletes algebrai struktúra, ahol tetszőleges nemüres halmaz, pedig bármely -beli elempárhoz az elemet rendelő függvény, melyre teljesülnek az alábbi tulajdonságok (csoportaxiómák):
A1). Bármely elemre . (asszociativitás); A2). Létezik -nek olyan eleme, amelyre a következő teljesül bármely esetén: . (neutrális elem létezése); A3). Bármely elemhez található olyan , amelyre teljesül . (inverzelemek létezése).
Belátható, hogy bármely csoportban a neutrális elem egyértelmű, és minden elemnek pontosan egy inverze létezik.
A neutrális elemet az egyszerűség és a könnyebb szemléltethetőség kedvéért gyakran egységelemnek vagy nullelemnek nevezik.
Belátható, hogy egy algebrai struktúra akkor és csak akkor csoport, ha A1) mellett a következő tulajdonság teljesül:
A2'). Tetszőleges esetén léteznek olyan elemek, melyekre és teljesül, más szavakkal az egyenletek megoldhatóak -ben -re és -ra
T1. tétel: Bármely csoportban legfeljebb egy egységelem létezik, az egységelem egyértelmű. Biz.: Legyen egységelem -ben, ekkor tetszőleges -re és is teljesül A1) szerint. Ekkor persze -re is teljesül az első egyenlőség miatt , -re pedig a második egyenlőség alapján . Mivel az egyenlőség tranzitív reláció, és alapján , azaz bármely két egységelem egyenlő, tehát tényleg nincs két különböző egységelem.
T2. következmény: Bármely csoportnak pontosan egy egységeleme van. Biz.: A2) alapján létezik egységelem, T1) alapján pedig ha létezik, akkor pontosan egy létezik, ebből következően létezik is, és pontosan egy létezik.
Egy csoport rendjén elemeinek számát értjük, és -vel jelöljük.
Hatványozás. Az általánosított asszociativitási tétel (GAT).
Részcsoportok
Ha a csoport egy részhalmaza maga is csoportot alkot a -ra leszűkített művelettel, akkor -t a részcsoportjának v. alcsoportjának nevezzük ( a leszűkítése). A részcsoport jelölése: . Részcsoportok metszete maga is részcsoport; részcsoportok uniója általában nem az.
Ha , akkor -t valódi részcsoportjának nevezzük.
Megjegyzések: nem lehet üres, hiszen legalább az egységelemet tartalmazza. Amennyiben véges, rendje osztja rendjét (Lagrange tétele).
Mellékosztályok Legyen és . Ekkor az halmazt szerinti bal oldali mellékosztályának, illetve a halmazt szerinti jobb oldali mellékosztályának nevezzük.
Megjegyzések: Általános esetben a bal és jobb oldali mellékosztályok különböznek. Két bal oldali (ill. jobb oldali) mellékosztály vagy megegyezik, vagy nincs közös elemük, és a bal oldali (ill. jobb oldali) mellékosztályok lefedik a teljes -t (azaz uniójuk előállítja -t). Az egyes mellékosztályok számossága megegyezik (megegyezik tehát rendjével).
Lagrange tétele Az előző szakasz megjegyzései alapján: véges csoport tetszőleges részcsoportjához tartozó mellékosztályok száma (amit a részcsoport indexének nevezünk és így jelölünk: ) osztója a csoport rendjének. rendje maga is osztója rendjének, és . Ez Lagrange tétele.
Normálosztó, faktorcsoport
Egy G csoport N részcsoportja normálosztó ha jobb oldali és bal oldali mellékosztályai megegyeznek, azaz G minden g elemére teljesül. Jelben .
Mellékosztályok szorzatát definiálhatjuk mint az elemeik páronkénti szorzatának halmazát, azaz és esetén , amelyről megmutatható, hogy mindig maga is mellékosztály.
Az N mellékosztályai által e művelettel alkotott csoportot faktorcsoportnak nevezzük és G/N-nel jelöljük.
Homomorfizmus és izomorfizmus. Homomorfizmus-tétel Legyen és két csoport és legyen olyan leképezés, hogy tetszőleges elemekre . Az ilyen leképezést csoporthomomorfizmusnak (vagy egyértelmű esetekben egyszerűen homomorfizmusnak) nevezzük.
Speciálisan, ha bijektív, akkor a homomorfizmust izomorfizmusnak hívjuk, és azt mondjuk, hogy és izomorf csoportok.
Ha , azaz egy -t önmagába képező izomorfizmus, akkor speciálisan azt mondjuk, hogy a csoport automorfizmusa. Tetszőleges csoport automorfizmusai csoportot alkotnak a függvénykompozícióra, mint műveletre nézve. Ennek a csoportnak a jele , egységeleme az identikus leképezés.
Legyen homomorfizmus. Azoknak a elemeknek a halmazát, amelyekre , a homomorfizmus magjának nevezzük és -vel jelöljük. elemei csoportot alkotnak, méghozzá normálosztó -ben.
A faktorcsoport izomorf -vel. Ez az állítás homomorfizmus-tétel néven ismert.
Centrum, centralizátor
Legyen tetszőleges csoport. Azoknak a elemeknek a halmazát, amelyekre igaz az, hogy minden -re, centrumának nevezzük és (a német Zentrum szóból eredően, hagyományosan) -vel jelöljük. sohasem üres halmaz, mert , elemei csoportot alkotnak, mi több . akkor és csak akkor kommutatív, ha .
Legyen . Azoknak az csoportelemeknek a halmazát, amelyekre igaz az, hogy , centralizátorának nevezzük és -val jelöljük. sohasem üres halmaz, mert , sőt csoport. az a – tartalmazást tekintve – legbővebb csoport, amelyben még centrumelem; ⇔ . az összes elem centralizátorának a metszete.
Konjugálás, konjugáltosztályok, osztályegyenlet Legyen csoport. Egy csoportelemnek egy csoportelemmel vett konjugáltját az kifejezéssel definiáljuk.
Megjegyzések: A fönti definícióval , , és ( a egységeleme, tetszőlegesek). Egyes szerzők a konjugáltat az kifejezéssel definiálják (akkor az előző megjegyzés 2. egyenlete helyett az teljesül), illetve az jelölést is használják (amiből nem derül ki, hogy melyik elemmel konjugáltak).
Vezessük be elemei között a relációt a következőképpen: az csoportelemekre . Könnyen belátható, hogy ekvivalenciareláció, tehát szerint diszjunkt elemosztályokra bontható, amelyeket konjugáltosztályoknak nevezünk. Két csoportelem pontosan akkor van ugyanabban a konjugáltosztályban, ha azok egymás konjugáltjaiként előállíthatók.
A konjugáltosztályok általában nem részcsoportok. Egy részcsoport éppen akkor normálosztó, ha előáll teljes konjugáltosztályok uniójaként. Speciálisan a csoport centruma épp az egyelemű konjugáltosztályok uniója.
Az -t tartalmazó konjugáltosztály rendje megegyezik indexével. Ezért véges csoportban a konjugáltoszályok rendje osztója a csoport rendjének. Jelölje a csoport egynél több elemű konjugáltosztályait. Mivel a konjugáltosztályok -nek partícióját alkotják, felírható az alábbi, osztályegyenletnek nevezett egyenlőség:
Itt jobb oldalon minden tag osztója rendjének.
Megjegyzés. Az osztályegyenletből egyszerű számolással következik, hogy ha , ahol prím, akkor nem egyelemű. Valóban, a -k mind oszthatók -vel, csakúgy mint , ezért is osztható -vel.
Abel-csoportok. Bázis
Abel-csoportnak a kommutatív csoportokat nevezzük. Ilyenek például az egy elem hatványaiból álló ciklikus csoportok. Ezekből direkt szorzással újabb Abel-csoportokat kapunk.
Ha Abel-csoportokról van szó, akkor az asszociatív műveletet sokszor összeadásnak hívják, és additív jelölést használnak.
További példák Abel-csoportokra: additív: egész számok racionális számok valós számok komplex számok kvaterniók egy adott n-nel osztható egész számok egy számra az szám egész számszorosai multiplikatív: racionális számok a 0 nélkül valós számok a 0 kivételével komplex számok a 0 nélkül
Véges Abel-csoportok alaptétele (VAT) Egy véges Abel-csoport prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt szorzatával izomorf. A prímhatvány rendek és a tényezők multiplicitása egyértelműen meghatározottak.
Egyszerű csoportok Egy csoport egyszerű, ha csak triviális normálosztója van (az egész csoport és az egységelemből álló csoport). Szokás szerint nem számítjuk az egyszerű csoportok közé a kommutatívakat, tehát az egyelemű, illetve prímrendű ciklikus csoportokat. A csoportelmélet egyik nevezetes problémája a véges egyszerű csoportok leírása, azzal a (kissé leegyszerűsített) meggondolással, hogy a véges csoportok amúgy is egyszerű csoportokból, csoportbővítéssel, állnak elő, ezért bármilyen probléma megoldható, ha megoldjuk véges egyszerű csoportokra és leírjuk a bővítéseken való viselkedését.
A véges egyszerű csoportok leírása a matematika leghosszabb bizonyítása, sokáig kb 10.000 oldal volt, de 1982-ben sikerült lerövidíteni a bizonyítást kb. 5000 oldalra. Sok matematikus dolgozott rajta sok évig, és ez a bizonyítás nem egy könyvben van leírva, hanem rengeteg egymásra hivatkozó cikk formájában matematikai folyóiratokban, amit lehetetlen teljes egészében áttekinteni, és többen kételkednek a „bizonyítás” bizonyítás voltában az olyan jellegű kereszthivatkozások miatt, hogy: „amennyiben igaz az A tétel, akkor abból következik, hogy…”.
Sylow-csoportok
Legyen p prím. A P részcsoport p-Sylow-csoport, ha rendje , ahol nem osztója a G csoport rendjének.
A Sylow-csoportokról szólnak a Sylow-tételek.
I. Tétel – Legyen a G véges csoport rendje n=m*p^h, ahol p prím, h>=1, p nem osztója m-nek. Ekkor minden k<=h van G-nek p^k rendű részcsoportja, amit normálosztóként tartalmaz egy p^(k+1) rendű részcsoport.
Meg kell még említeni a Cauchy-tételt, amit egyes felépítésekben lemmaként használnak a tételhez, míg más felépítésekben következményként adódik.
Tétel – minden olyan p prímre, amely osztja a G csoport rendjét, van p rendű elem G-ben.
II. Tétel – Adott p prímre, amely osztója a G csoport rendjének, G összes P-Sylowja konjugált. Sőt, az összes p^k rendű részcsoport konjugált egymással, ahol 1<=k<=h
Következmény – G összes P-Sylowja izomorf
Következmény – a p-Sylowok száma osztója m-nek