A tetraéder egy négy háromszöglappal határolt poliéder. Az egyetlen konvex három dimenziós poliéder, aminek négy lapja van. Azonban többnyire szabályos tetraéderre gondolnak, amikor tetraéderről esik szó. A tetraédert nevezik három dimenziós szimplexnek, vagy háromszög alapú gúlának.
Általános értelemben a tetraéder háromszög alapú gúla. Egyik háromszög lapját alaplapnak, a másik hármat a palást részének tekintik. Mivel a legkisebb lap- és csúcsszámú poliéder, ezért szimplexnek nevezik. A háromszög térbeli megfelelőjének tekinthető; a háromszög 2 dimenziós szimplex.
A következők az általános értelemben vett tetraéderre vonatkoznak: Minden tetraédernek van beírt és körülírt gömbje. Súlypontja a bármely kiválasztott csúcsot és az azzal szemközti háromszöglap súlypontját összekötő egyenesen van, és ennek a tetraéderbe eső szakaszát 3:1 arányban osztja. Négy csúcsának konvex burka.
-ben a tetraéder megadható egy csúcsával, és három vektorral, amelyek másik végpontja a másik három csúcsba mutat. Ha ezeket a vektorokat jelöli, akkor a tetraéder térfogata:
A tetraédernek 4 csúcsa, 4 lapja és 6 éle van. Ha megadjuk egyik oldalát három független adatával, és megadjuk a maradék három él hosszát, akkor a tetraéder már egyértelműen adva van, tehát hat független adatból meghatározható.
A továbbiakban, ha mást nem írunk, a szabályos tetraéderről lesz szó.
Matematikai összefüggések
thumb|right|300px|Az ABCD tetraéder és körülírt gömbje
Az a élhosszú szabályos tetraéder méretei Térfogat ≈ 0,12 a³ Felszín ≈ 1,73 a² A körülírt gömb sugara ≈ 0,61 a Éleit érintő gömb sugara ≈ 0,35 a Beírt gömb sugara ≈ 0,2 a Magassága<span>gúlaként ≈ 0,82 a VTérfogat körülírt gömb sugara Lapszög ≈ 70° 31' 44" Lap-élszög ≈ 54° 44' 8" Csúcsszög ≈ 0,1755 π Tetraéderszög ≈ 109° 28' 16"
Az általános értelemben vett tetraéder térfogata Az általános értelemben vett tetraéder térfogata a gúlák képletével számítható:
ahol A0 az alap, és m a hozzá tartozó magasság. Alapnak bármely lap választható, így egy tetraéder lapjainak területe és a hozzá tartozó magasság fordítottan arányos.
Ha a tetraéder csúcsainak koordinátái adottak:
, , és ,
akkor a térfogata:
,
vagy a csúcspárok bármely kombinációja, amelyek egyszeresen összefüggő gráfot alkotnak. Ez átírható vegyes szorzatra:
.
Ha a d csúcsot a nullába toljuk:
d = 0, így ,
ahol a, b, és c egy csúcsban összefutó élek, és a vegyes szorzat. Összevetve a paralelepipedon térfogatképletével kapjuk, hogy a tetraéder térfogata hatoda annak a paralelepipedon térfogatának, amit ugyanaz a három él feszít ki.
A vegyes szorzat ábrázolható ezzel a determinánssal:
ahol és a többi egységesen sor- vagy oszlopvektor.
Így
ahol
és így tovább, amivel , ahol α, β, γ a d csúcs körüli síkszögek. Az α, a d csúcsot a b-vel és a c-vel összekötő élek közrezárt szöge. A β az a-ba és a c-be futó élek közötti szög, míg γ az a-ba és a b-be menő élek szöge.
A csúcsok közötti távolságok ismeretében a térfogat a Cayley–Menger-determinánssal számítható:
ahol az indexek rendre az {a, b, c, d} csúcsoknak felelnek meg, és az egyes csúcsok közötti élek hossza. A negatív térfogat azt jelzi, hogy az adott élhosszakkal nem építhető tetraéder. Ez a képlet Tartaglia képlete néven ismert, amit azonban a festő Piero della Francesca fedezett fel a 15. században a Hérón-képlet analogonjaként."Simplex Volumes and the Cayley-Menger Determinant", MathPages.com
Jelölje a tetraéder éleit U, V, W, u, v, w úgy, hogy U, V, W alkot egy háromszöget, és u, v, w rendre a nagybetűs megfelelőikkel szemközti élek. Ekkor:Kahan, William M.; "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?", pp. 16–17
ahol:
A hiperbolikus és a gömbi térben adott tetraéderek térfogatát térszögeik határozzák meg. Az összefüggést a Murakami–Yano formula adja meg. Mivel az euklideszi geometriában a tetraédert csak hasonlóság erejéig határozzák meg a szögei, ezért a formula nem alkalmazható az euklideszi térben.
Szimmetriái thumb|A szabályos tetraéder szimmetriatengelyei és síkjai Nagyfokú szimmetriája miatt a szabályos tetraéder a szabályos poliéderek egyike. Van neki: Négy háromfogású szimmetriatengelye a csúcsokon és a szemben fekvő lapok középpontjain át Három négyfogású, így három kétfogású forgástengelye a szemben fekvő élpárok középpontjain át Hat szimmetriasíkja, ami az egyik szemben fekvő élpár egyik egyenesét tartalmazza, és a másikra merőleges.
Az egyetlen szabályos test, ami nem középpontosan szimmetrikus.
Összesen a tetraédernek 24 szimmetriája van. Ez a tetraédercsoport, ami izomorf az S4 szimmetrikus csoporttal, ahogy a csúcsokon vagy a lapokon végzett hatás mutatja. Más jelöléssel Schoenflies szerint Td, és Hermann-Mauguin szerint 3m. Az oktaédercsoport (kockacsoport) részcsoportja.
Részletesebben, a tetraédercsoport forgatásokra és forgatva tükrözésekre osztható. Az előbbiek hatásuk szerint éppen a páros, az utóbbiak éppen a páratlan permutációknak felelnek meg. A forgatások egyike az identitás, de ide tartozik 8 120 fokos és 3 180 fokos forgatás. Ezek konjugáltosztályok is. Néha csak a tetraéder forgatásait tekintik tetraédercsoportnak. A forgatva tükrözések közül 6 tisztán tükrözésként leírható, a többiek egy 90 fokos forgatás egy élpár felezőpontjain átmenő egyenesre, és egy erre merőleges síkra síkra tükrözés szorzataként állnak elő.
Descartes-koordináták A következők egy origó középpontú, 2 élhosszú szabályos tetraédert adnak meg:
(±1, 0, −1/√2) (0, ±1, 1/√2)
Egy másik megadási mód a kockába írt tetraédert használja, ahol a kocka élhossza 2, a tetraédereké .
Egyik tetraéder: (1,1,1), (1,−1,−1), (−1,1,−1), (−1,−1,1). Másik tetraéder: (−1,−1,−1), (−1,1,1), (1,−1,1), (1,1,−1).
A pár együtt egy csillagtetraédert ad ki. Ha a csúcsokat rendezetlenül egyesítjük, akkor visszakapjuk a kocka csúcsait.
Mértani arányok thumb|200px|Csillagtetraéder A szabályos tetraéder két szomszédos lapja által közrezárt szög (α) 70,53° (két tizedesjegyre kerekítve). Az élek a szemben fekvő lappal 54,74°-ot zárnak be (β). A tetraéder középpontja és két csúcsa közötti szakaszok szöge (τ) , ami körülbelül 109,47°. Ezt nevezik tetraéderszögnek, és fontos szerephez jut a kémiában a molekulák alakjának meghatározásában. Az egyik szimmetriasík menti keresztmetszetet vizsgálva a szögek pontos mérete is megadható, mivel innen kiszámíthatók a következők:
A tetraédernek van négyzet alakú keresztmetszete. A metszősík ekkor két egybevágó részre osztja a tetraédert. Az egyik lappal párhuzamosan metszve egyenlő oldalú háromszög lesz a keresztmetszet. Két szemközti éllel párhuzamos sík téglalapot ad keresztmetszetül. Ha ez a sík éppen felezi a többi élt, akkor a keresztmetszet négyzet. A négyzet élhossza fele a tetraéderének.
A szabályos tetraéder egyedülálló a platóni testek között abban, hogy minden csúcsai egyenlő távolságra van a többi csúcsától. Abban is egyedülálló, hogy nincsenek párhuzamos oldalai. Az általános értelemben vett tetraéder tulajdonságai Az általános értelemben vett tetraéder szemben fekvő élei kitérő egyeneseken fekszenek. Az élek távolságát ezeknek az egyeneseknek a távolsága adja meg.
Ha a és b − c a tetraéder szemben levő élei, akkor távolságuk
másként
A tetraéder sok tulajdonsága megfelel a háromszögének. Minden tetraédernek van beírt, körülírt, és hozzáírt gömbje, és ezek középpontjai is meghatározhatók. Középsíkjai tetraédert határoznak meg, és ennek körülírt gömbje megfelel a kilencpontos körnek, ami azonban nem megy át a magasságok talppontjain. Ezzel szemben az általános tetraédernek nincs magasságpontja. A magasságpontos tetraéderek egy fontos speciális esetet alkotnak.
A Monge-pont azoknak a síkoknak a metszete, amelyek merőlegesek a tetraéder egyik élére, és átmennek a szemben fekvő él felezőpontján. A magasságpontos tetraéderekben ez a pont a magasságpont, ezért ezeket a tetraédereket ortocentrikusnak is nevezik.
A Monge-pontból bármely lapra bocsátott merőleges a lapot annak abban a pontjában döfi, amely felezi a lap magasságpontját és a szemközti csúcsból bocsátott magasság talppontját összekötő szakaszt.
A csúcsot a szemben levő lap súlypontjával összekötő szakaszok a tetraéder mediánjai. A szemben futó élek felezőpontjait összekötő szakaszok a bimediánok. Egy tetraédernek négy mediánja és három bimediánja van. Mindezek a tetraéder súlypontjában találkoznak.Leung, Kam-tim; and Suen, Suk-nam; "Vectors, matrices and geometry", Hong Kong University Press, 1994, pp. 53–54 Ez felezi a Monge-pont és a körülírt gömb középpontja közötti szakaszt. Ezek definiálják a tetraéder Euler-egyenesét, ami megfelel a háromszög Euler-egyenesének.
A háromszög kilenc pontos körének a középtetraéder körülírt gömbje felel meg, ami tizenkét nevezetes pontot tartalmaz. Ezek: a lapok súlypontjai; a négy Euler-pont, amelyek a Monge-pont és a csúcsok közötti szakaszokat harmadolják; és az Euler-pontokból az adott Euler-pont konstrukciójában részt nem vevő lapra bocsátott merőlegesek talppontjai.
A tizenkét pontos gömb középpontját rendszerint T-vel jelölik. Ez szintén az Euler-egyenesen található. A Monge-pont és a körülírt gömb szakaszának harmadánál van. A T-ből valamelyik lapra bocsátott merőleges egy síkban van a következő két egyenessel, és egyenlő távolságban van tőlük. Az egyik a megfelelő Euler-pontból bocsátott merőleges, a másik az adott lap súlypontjában állított merőleges. Sőt, a tetraéder minden lapjára T a megfelelő Euler-pont és a lap magasságpontja között félúton helyezkedik el.
A tizenkét pontos gömb sugara harmada a tetraéder köré írt gömb sugarának.
A tetraéder lapjai által bezárt szögek közötti kapcsolatot ez a determináns adja meg:
ahol az i és j lapok szöge.
Szinusztétel
A szinusztétel következményeként, ha egy általános értelemben vett tetraéder csúcsai O, A, B és C, akkor
Az egyenlet tekinthető az óramutató járása és az azzal ellentétes irány megfeleltetésének.
Bármelyik csúcs behelyettesíthető az O csúcsnak, de az így kapott egyenletek közül legfeljebb csak három független. Ha összeszorozzuk az egyenleteket, és kiegyszerűsítjük belőlük a közös tényezőket, akkor a negyedik egyenletet kapjuk.
Tudjuk, hogy három szög akkor és csak akkor szögei egy háromszögnek, ha összegük 180 fok. Egy tetraéder négy lapjára alkalmazva a szabadságfok 12-ről 8-ra csökken. A fenti egyenletek további megkötéseket jelentenek, így a tetraéder szabadsági foka 5-re csökken, mert az egyenletek között csak három független. Így a tetraéderek tere hasonlóság erejéig 5 dimenziós.
Tetraéder kontra tetraéder thumb|Tetraéder duális tetraéderével A tetraéder duálisa is tetraéder, ezért önduálisnak tekintik. A duális tetraéder élhossza az eredeti harmada.
A két tetraéderrel további poliéderek konstruálhatók, amelyeknek szintén a tetraédercsoport a szimmetriacsoportja: Csonkított tetraéder négy háromszög és négy hatszöglappal Oktaéder mint két tetraéder metszete. Szimmetriacsoportjának valódi részcsoportja a tetraédercsoport. Csillagtetraéder két tetraéder egyesítéseként Kocka, ami a csillagtetraéder konvex burka. Szimmetriacsoportjának valódi részcsoportja a tetraédercsoport.
A szabályos tetraéderrel és a szabályos oktaéderrel együtt kitölthető a tér, amire a két test közül egyedül egyik sem alkalmas. Két tetraéder és egy oktaéder egyesítése romboédert ad, ami egy kristályrács elemi cellája. Ismertek néhány nem szabályos tetraéder arányai, amelyekkel a térkitöltés elvégezhető, de ez a lista még nem teljes. Sőt, ha eltekintünk attól, hogy a kitöltésre használt tetraédereknek hasonlóknak kell lenniük, akkor még sokféle térkitöltés állítható elő, például az oktaéder vagy a kocka felosztásával.
A tetraéderen végzett csonkítási sorozat uniform poliéderek egy sorozatát adja. Az élek első levágása rektifikált tetraédert, vagyis oktaédert ad. A folyamat birektifikációval ér véget, ahol az eredeti lapok pontokká zsugorodnak, és a duális tetraéderbe mennek át.