bélyegkép|jobbra|256px|Szabályos ikozaéder
Az ikozaéder (ógörög: εἰκοσάεδρον, eikosáedron; eikoszi = húsz, hedron = ülés) egy olyan poliéder, amelynek 20 lapja, 12 csúcsa és 30 éle van, minden csúcsban 5 él találkozik.
Az „ikozaéder” szó alatt gyakran a szabályos ikozaédert értik, mely az öt platóni vagy szabályos test egyike. Ez egy konvex, szabályos poliéder. Duális poliédere a dodekaéder.
Szimmetriái thumb|right|200px|Ikozaéder (zölddel) és duális teste, a pentagondodekaéder (sárgával) Mivel minden csúcsa, éle és lapja szimmetriával átvihető egymásba, ezért a platóni szabályos testek egyike. Szimmetriái: Hat ötfogású forgástengely (a szemben levő csúcsain át) Tíz háromfogású szimmetriatengely (a szemben fekvő lapjainak középpontján át) Tizenöt kétfogású szimmetriatengely (a szemben levő éleinek felezőpontjain át) Tizenöt szimmetriasíkja (a szemben levő éleinek közös felezőmerőlegese) Középpontosan szimmetrikus a középpontjára
Szimmetriacsoportja duális teste, a dodekaéder nevén ismert dodekaédercsoport, 120 elemmel. Ebben a forgatások 60 elemű részcsoportot alkotnak, ami a legkisebb nem Abel egyszerű csoport, és a legnagyobb nem Abel normálosztó az összes szimmetria csoportjában. Az ikozaéder szimmetriacsoportja izomorf az ötelemű halmazok páros permutációinak csoportjával. Ez a nem kommutatív csoport egyszerű, és az egyetlen nem triviális normálosztó az ötelemű halmaz permutációinak csoportjában (azaz az ötödfokú szimmetrikus csoportban). Mivel az általános ötödfokú egyenlet Galois-csoportja izomorf az ötödfokú szimmetrikus csoportjával, ezért az általános ötödfokú egyenlet nem oldható meg gyökjelekkel. Az Abel–Ruffini-tétel bizonyítása ezt az egyszerű tényt használja, és Felix Christian Klein könyvet írt, amiben az ikozaéder szimmetriáinak elméletét használta, hogy analitikus megoldást adjon az ötödfokú egyenletre. A könyv 1884-ben jelent meg Vorlesungen über das Ikoksaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (Előadások az ikozaéderről és az ötödfokú egyenletek megoldásáról) címmel.
Mivel szimmetriáiban szerepel az ötös szám, ezért ez a csoport összeegyeztethetetlen a hézagmentes térkitöltéssel, így nincs ilyen szimmetriájú kristályrács. A kvázikristályokban azonban előfordulnak ikozaéder alakú cellák.
Az ikozaéder háromféleképpen színezhető uniform színezéssel. Ezek az 11213, 11212, 11111 számokkal reprezentálhatók, ahol a számok azt jelölik, hogy az egy csúcs körüli lapok milyen színűek lesznek.
Az ikozaéder a tetraéder snubjaként is előáll. Az így keletkezett ikozaéder mutatja az ikozaéder királis tetraéderes szimmetriáját. Oktaéderből alternált csonkolással is konstruálható, ez pyritoéderes szimmetriát mutat. A pyritoéderes szimmetriája egy nem szabályos ikozaédertípusnak is megvan, amit pszeudoikozaédernek neveznek, és aminek 8 szabályos és 12 egyenlő szárú lapja van. Duális teste a pyritoéder.
NévSzabályos ikozaéderSnub oktaéderSnub tetratetraéderÖtszög alapúcsavart bipiramisSchläfli-szimbólum{3,5}s{3,4}sr{3,3}Wythoff-szimbólum 5 | 3 2 | 3 3 2SzimmetriaIh[5,3](*532)Th[3+,4](3*2)T[3,3]+(332)D5d[2+,10](2*5)Szimmetriarend60241210Uniform színezés(11111)(11212)(11213)(11122)&(22222)
Méretek bélyegkép|jobbra|150px|Az ikozaéder hálója Ha egy szabályos ikozaéder élhossza a, a köré rajzolt gömb sugara (amely az ikozaéder minden csúcsát érinti):
≈ 0,9510565163a
a beírt gömb sugara pedig (amely az ikozaéder minden lapját érinti):
≈ 0,7557613141a
a középsugár (midradius), amely minden él közepét érinti:
≈ 0,80901699a
ahol (görög kis fi) az aranymetszés aránya (≈1,618).
Felszín és térfogat Az a élhosszú szabályos ikozaéder felszíne (A) és térfogata (V) az alábbiak szerint számolható:
≈ 8,66025404a2 ≈ 2,18169499a3
Koordináták
Az origó központú, 2 élhosszúságú ikozaéder csúcsait az alábbi Descartes-koordináták határozzák meg:
, ahol az aranymetszés arányszáma.
Az egységnyi élű ikozaéder lapközéppontjait összekötve kapott dodekaéder élhossza , ami az arany arány reciproka.
Az ikozaéder csúcsai gömbi koordinátákkal, szélességgel és hosszúsággal is megadhatók. Ha az északi és a déli sark az ikozaéder két csúcsa, akkor a többi tíz csúcs szélessége . Hosszúságok szerint egyenletesen oszlanak el, 36 fokonként.
Ez azt mutatja, hogy az ikozaéder ötszög alapú csavart nyújtott bipiramis D5d diéderszimmetriával, azaz két szabályos ötszög alapú gúla összekapcsolva egy ötszög alapú antiprizmával.
Mértani arányok Az ikozaéder egyedülálló a szabályos testek közül abban, hogy lapszöge nagyobb 120°-nál: ez az érték körülbelül 138,19°.
A szabályos hatszögek nem lehetnek egy szabályos poliéder lapjai, mert szögei 120°-osak, és nem fér el teljesszögnél kisebb szögben három 120°-os szög. Hasonlóan, az ikozaéder nem lehet egy négydimenziós szabályos test lapja, mert lapszöge nagyobb 120°-nál, és magasabb dimenzióban is minden csúcsban legalább három lapnak kell találkoznia.
Kisebb lapszögű szabályos testekkel együtt határolhat félig szabályos testeket. Ebben is hasonlít a hatszöghöz, ami szintén lehet félig szabályos test lapja. Végül határolhat négydimenziós konkáv szabályos testeket.
Ikozaéder kontra dodekaéder bélyegkép|Leonardo da Vinci Ycocedron Abscisus Vacuus nevű csonkított ikozaédere Ha egy ikozaédert rajzolunk egy gömb belsejébe, az a gömb térfogatának kisebb részét (60,54%) foglalja el, mint egy ugyanabba a gömbbe írt dodekaéder (66,49%).
Az ikozaéder csonkítási sora:
Kép100px Ikozaéder100px Csonkított ikozaéder100px Ikozidodekaéder100px Csonkított dodekaéder100px DodekaéderCoxeter-Dynkin diagramFájl:CDW dot.pngFájl:CDW 5.pngFájl:CDW dot.pngFájl:CDW 3.pngFájl:CDW ring.pngFájl:CDW dot.pngFájl:CDW 5.pngFájl:CDW ring.pngFájl:CDW 3.pngFájl:CDW ring.pngFájl:CDW dot.pngFájl:CDW 5.pngFájl:CDW ring.pngFájl:CDW 3.pngFájl:CDW dot.pngFájl:CDW ring.pngFájl:CDW 5.pngFájl:CDW ring.pngFájl:CDW 3.pngFájl:CDW dot.pngFájl:CDW ring.pngFájl:CDW 5.pngFájl:CDW dot.pngFájl:CDW 3.pngFájl:CDW dot.png
Az ikozaéder és a dodekaéder segítségével további testek is alkothatók, amelyeknek ugyanazok a szimmetriáik, mint ezeknek a testeknek: A rombotriakontaédernek 20 + 12 = 32 éle és 30 rombusz lapja van. Megkapható alkalmas méretű, közös középpontú ikozaéder és dodekaéder uniójának konvex burkaként. Az ikozaédercsillag az ikozaéder éleinek meghosszabbításából keletkező konkáv test.
+ Az uniform ikozaéderes poliéderek családja Szimmetria: [5,3], (*532)[5,3]+, (532){5,3}t{5,3}r{5,3}2t{5,3}=t{3,5}2r{5,3}={3,5}rr{5,3}tr{5,3}sr{5,3}Duális testek50px50px50px50px50px50px50px50pxV5.5.5V3.10.10V3.5.3.5V5.6.6V3.3.3.3.3V3.4.5.4V4.6.10V3.3.3.3.5
Kapcsolatai más testekkel bélyegkép|jobbra|Aranytéglalapok egy ikozaéderben Az oktaéder 12 élét fel lehet osztani az aranymetszés szerint úgy, hogy az eredményül kapott csúcsok szabályos ikozaédert adjanak. Ezt úgy tehetjük, hogy vektorokat helyezünk az oktaéder éleire úgy, hogy minden lapot egy kör határol és ehhez hasonlóan minden élt az aranymetszés szerint felosztunk a vektor iránya mentén. Egy adott ikozaédert meghatározó öt oktaéder mindig szabályos összetett poliédert alkot.
Az ikozaéder élei közül kiválasztható három szemben fekvő élpár, hogy ezek három, egymásra páronként merőleges téglalapot feszítsenek ki, amely téglalapok oldalainak aránya éppen az aranymetszés, mivel az oldalak és az átlók szabályos ötszögeket alkotnak. Az ikozaéder így beírható egy kockába úgy, hogy ez a hat él a kocka hat oldalán feküdjön, és a kocka éleivel párhuzamos legyen.
A maradék 24 él 8 szabályos háromszöget határol, amelyek egy, az ikozaéder köré írt oktaéder lapjain fekszenek. Az ikozaéder csúcsai az oktaéder élein vannak.
Összesen öt ilyen helyzet van, amiben az ikozaéder minden éle élpárok egy ilyen halmazához tartozik, míg minden lap kétszer kerül egy köréírt oktaéder egy lapjára. Így hat az ikozaéder szimmetriacsoportja az öt helyzet 5!/2 = 60 páros permutációjára.
Az ikozaéder élei 12 szabályos ötszöget határoznak meg, minden él kettő és minden csúcs öt ilyen ötszöghöz tartozik. Ez a tulajdonság drótmodell építéséhez is használható.
Snub tetraéderként szintén megjelenik a tetraéderes és az oktaéderes szimmetriájú poliéderek családjában:
+ Az uniform tetraéderes poliéderek családjaSzimmetria: tetraéderes [3,3], (*332)[3,3]+, (332){3,3}t{3,3}r{3,3}t{3,3}{3,3}rr{3,3}tr{3,3}sr{3,3}Duális testekV3.3.3V3.6.6V3.3.3.3V3.6.6V3.3.3V3.4.3.4V4.6.6V3.3.3.3.3
+ Uniform oktaéderes poliéderekSzimmetria: oktaéderes [4,3], (*432)[4,3]+(432)[1+,4,3] = [3,3](*332)[3+,4](3*2){4,3}t{4,3}r{4,3}r{31,1}t{3,4}t{31,1}{3,4}{31,1}rr{4,3}s2{3,4}tr{4,3}sr{4,3}h{4,3}{3,3}h2{4,3}t{3,3}s{4,3}s{31,1}40px40px40px40px40px40px40px40px40px40px40px40px30px30px30px30px40px40pxAz uniform poliéderek duálisaiV43V3.82V(3.4)2V4.62V34V3.43V4.6.8V34.4V33V3.62V3540px40px40px40px40px40px40px40px40px40px40px
Az ikozaéder a {3,n} Shläfli-szimbólummal jellemezhető poliéderek és parkettázások sorozatába is beletartozik: VégesEuklideszikompakt hiperbolikusParakompakt60px{3,2}{3,3}{3,4}{3,5}{3,6}{3,7}{3,8}{3,9}...60px(3,∞)
Az ikozaéder, mint snub tetraéder az (3.3.3.3.n) csúcsalakzatú snub poliéderek és parkettázások sorozatába tartozik. Mindezek az alakzatok és duálisaik (n32) forgásszimmetrikusak, ahol n=6 az euklideszi síkon, és n > 6 a hiperbolikus síkon. Ezeket a sorozatokat n=2-től kezdik.
+ A 3.3.3.3.n snub poliéderek és parketták családjaSymmetryn32[n,3]+SzférikusEuklidesziHiperbolikus232[2,3]+D3332[3,3]+T432[4,3]+O532[5,3]+I632[6,3]+P6732[7,3]+832[8,3]+∞32[∞,3]+Snubalakzat60px3.3.3.3.260px3.3.3.3.360px3.3.3.3.460px3.3.3.3.53.3.3.3.63.3.3.3.73.3.3.3.860px3.3.3.3.∞Schläfli sr{2,3}sr{3,3}sr{4,3}sr{5,3}sr{6,3}sr{7,3}sr{8,3}sr{∞,3}Snubduálisalakzat60pxV3.3.3.3.2V3.3.3.3.3V3.3.3.3.4V3.3.3.3.5V3.3.3.3.6V3.3.3.3.7V3.3.3.3.8V3.3.3.3.∞
SzférikusHiperbolikus parketták50px{2,5}50px{3,5}50px{4,5}50px{5,5}50px{6,5}50px{7,5}50px{8,5}...50px{∞,5}
Az ikozaéder csúcsainak elrendezése megegyezik a Kepler–Poinsot-poliéderekkel. A nagy ikozaédernek az élelrendezése is megegyezik.
Kép Nagy dodekaéder Kis csillagikozaéder Nagy ikozaéder
A hiperbolikus tér átfedés nélkül kitölthető egybevágó ikozaéder cellákkal, ahol egy él mentén három, egy csúcsnál 12 ikozaéder találkozik, és Schläfli-szimbóluma {3,5,3}. Ez a hiperbolikus tér négy szabályos cellarácsa közül az egyik.
240pxA hiperbolikus tér ikozaéderes cellarácsa az ikozaéderekkel jelezve. A modell középpontjában található ikozaéder is látható
Merőleges vetületei Az ikozaédernek három speciális vetülete van: lapközepes, élközepes és csúcsközepes.
+ Ortogonális vetítésekKözépLapÉlCsúcsCoxeter-síkA2A3H3Gráf100px100px100pxProjektívszimmetriaGráf100pxLap normális100pxÉl normális100pxCsúcs normális További rokon testek A The Fifty-Nine Icosahedra szerint az ikozaédernek 59 csillagpoliédere van, ezek közül az egyik maga az ikozaéder, egy másik a szabályos Kepler–Poinsot poliéder. Három közülük szabályos összetett poliéder. (1st Edn University of Toronto (1938)) Az ikozaéder lapsíkjai által kimetszett tartományok síkmetszete:
+200px50px50px50px50px50px50px50px50px50px50px50px50px50px50px50px50px50px50px50px50px
További tények Az ikozaéder különböző testhálóinak száma 43 380, csak úgy, mint duálisának, a dodekaédernek. Az ikozaéder lapjai három színnel színezhetők úgy, hogy két szomszédos lapnak ne legyen ugyanaz a színe. Ez a tetraédert kivéve minden konvex testre igaz, aminek háromszöglapjai vannak. Ez a Brooks-tételből következik, ha azt a test duális gráfjára alkalmazzuk. Egy ókori görög probléma azt a kérdést veti fel, hogy melyiknek nagyobb a térfogata: egy adott gömbbe írt ikozaédernek, vagy az ugyanabba a gömbbe írt dodekaédernek. A feladatot többen is megoldották, köztük Hérón, Papposz és Fibonacci.. Arra a következtetésre jutottak, hogy a gömb térfogatának nagyobb részét teszi ki a dodekaéder (66,49%), mint az ikozaéder (60,54%)..