A logikai függvények olyan matematikai leképezések, melyek a 0 és 1 számokból álló véges sorozatokhoz rendelik a 0 vagy 1 számot. Alkalmazásait tekintve kiemelkedőnek tekinthető a logika igaz-hamis értékeléseinek modellezése (ítéletlogika) és a digitális számítógépek elemi szintű működésének leírása.

A digitális számítógépek munkamódszerének és felépítésének megértéséhez szükség van a logikai függvény fogalmára.

Fogalmak, tételek Egy logikai függvény tehát olyan n változós függvény, melynek változói a {0,1} halmazból vehetnek fel értéket, a függvényérték pedig szintén a {0,1} halmazból valók. Itt az 1 értékre gyakran mint az igaz, a 0 értékre mint a hamis hivatkoznak (főleg logikai alkalmazásaiban). Formálisan, a {0,1}n Descartes-szorzat segítségével egy f függvény logikai, ha:

Az n változós logikai függvények száma 22n, hiszen az n változó 2n darab lehetséges értékének mindegyikéhez két értéket rendelhetünk.

Egyváltozós logikai függvények Az egyváltozós logikai függvények a következők (q a változó): + Identitás, változatlanul hagyás q id(q) 0 0 1 1+ Negáció, ellentét q nem(q) 0 1 1 0+ q 1 0 1 1 1+ q 0 0 0 1 0

Tehát: az identitás leképezés, mely minden értékhez saját magát rendeli, a tagadás (nem), mely minden értékhez az ellenkezőjét rendeli (a 0-hoz az 1-et, az 1-hez a 0-t), az 1 vagy az azonosan igaz leképezés, mely mindenhez az 1-et rendeli és a 0 vagy az azonosan hamis leképezés, mely mindenhez a 0-t rendeli.

Ezek közül külön figyelmet érdemel a tagadás, más néven nem vagy NOT operáció, melyet a gyakorlati életben is használnak.

Általában felülvonással jelöljük: .

Az előbbiből kiindulva: (a dupla tagadás megegyezik az identitással), , .

Kétváltozós logikai függvények A 16 kétváltozós logikai függvény közül csak a nemtriviálisakat említjük. Minthogy ezek {0,1} × {0,1} {0,1} típusú függvények, ezért ezek kétváltozós műveleteknek is tekinthetők.

Logikai szorzás (más néven és vagy AND művelet)

, ahol a második szorzás a számok szorzása.

Logikai összeadás (más néven vagy illetve OR művelet)

, ahol a második összeadás a számok összeadása (kivéve 1 + 1 esetén, ami itt 1 lesz).

+ Logikai szorzás, és 0 1 0 0 0 1 0 1+ Logikai összeadás, vagy 0 1 0 0 1 1 1 1 Ezen két művelet közötti triviális kapcsolatot írja le az alábbi két, úgy nevezett De Morgan-azonosság:

és

Azért elegendő ez a két művelet, mert minden logikai függvény előállítható pusztán kétváltozós műveletekkel:

Tétel: Akárhányváltozós logikai függvény felírható a tagadás és a logikai összeadás (vagy a tagadás és a logikai szorzás) segítségével.

Kapcsolódó szócikkek Boole-algebra (informatika)

Kategória:Logika