Az ekvalizátor a matematikában olyan halmaz, amelyen két vagy több függvény ugyanazt az értéket veszi fel. A fogalom általánosítható a kategóriaelméletben.
Definíció Legyenek X és Y halmazok, f és g pedig X-ből Y-ba menő függvények. Ekkor az f és g ekvalizátora az X azon x elemeinek halmaza, amikre . Képlettel:
Az ekvalizátort jelölése lehet Eq(f, g) vagy valamilyen variánsa (például kisbetűs eq). Kevésbé formális szövegekben kontextusban az { f = g } jelölés is használt.
A fenti definíció megfogalmazható kettő helyett tetszőleges számú függvényre is. Legyen F egy X-ből Y-ba menő függvényekből álló halmaz (nem feltétlenül véges). Ekkor az F elemeinek ekvalizátora az X azon x elemeiből áll, amikre bármely két f és g F-beli függvényre . Képlettel:
Ha , akkor az ekvalizátor jelölhető az Eq( f, g, h, ...) jelöléssel, illetve informálisan { f = g = h = ···} jelöléssel is.
Ha F az üres halmaz, akkor a fenti feltétel üres, és az ekvalizátor a teljes X. Ha F egyetlen f elemből áll, a feltétel lesz, ami az X valamennyi x elemére teljesül, így az ekvalizátor ismét a teljes X.
Differenciakernel Ha a függvények célján, azaz a fenti Y halmazon adott egy Abel-csoportstruktúra, akkor két f és g függvény ekvalizátora megegyezik az f − g különbségfüggvény kernelével, azaz a 0 elem ősképével. Emiatt használatos az ekvalizátorra a differenciakernel megnevezés is. Megfordítva, az f függvény kernelje megegyezik a zéró leképezéssel vett Eq(f, 0) ekvalizátorral.
A kategóriaelméletben A kategóriaelméletben az ekvalizátorok definícióját a halmazok kategóriájáról tetszőleges kategóriákra általánosítják.
Egy tetszőleges kategóriában legyenek X és Y objektumok, f és g pedig közöttük menő párhuzamos morfizmusok, azaz . Ekkor az f és g ekvalizátora az diagram limesze.
Konkrétabban fogalmazva, az ekvalizátor egy E objektumból és egy eq : E → X morfizmusból áll, amire teljesül, hogy , továbbá bármely O objektumra és m : O → X morfizmusra, ha , akkor létezik egy egyértelmű u : O → E morfizmus, amire .
Azt mondjuk, hogy az morfizmus ekvalizálja -et és -t, ha .
Hangsúlyozzuk, hogy az ekvalizátor egy objektum és egy belőle morfizmus együttese, nem csupán az objektum. Ugyanakkor mivel a morfizmus tartalmazza a forrására vonatkozó információt, az ekvalizátort gyakran azonosítják az eq morfizmussal. A halmazok kategóriájában ez a definíció visszaadja a fenti definíciót, ahol az eq : Eq(f,g) → X morfizmus pedig az ekvalizátor beágyazása X-be. Ugyanez igaz minden olyan kategóriában, ahol a differenciakernel értelmezhető.
Az ekvalizátor kategóriaelméleti definíciója könnyen általánosítható kettőnél több morfizmusra: egyszerűen egy nem kettő, hanem több párhuzamos nyílból diagram limeszét vesszük. Egyetlen morfizmus ekvalizátora is értelmes: ekkor eq egy tetszőleges izomorfizmus egy E objektumból X-be.
Valamivel fogósabb feladat nulla darab morfizmus ekvalizátorát definiálni. Naiv megközelítésben logikusnak tűnhet az X-ből és Y-ból álló, egyetlen nyilat sem tartalmazó diagram limeszét venni. Ez viszont nem a kívánt eredményt adja: ennek a diagramnak a limesze az X és Y produktuma. Könnyen látható, hogy például a halmazok kategóriájában a produktum és az ekvalizátor nem esnek egybe, így ez nem lehet a kívánt a definíció. Ehelyett azt kell észrevenni, hogy az ekvalizátordiagramok alapvetően X-re összpontosítanak: Y csak azért szerepel bennük, mert az a diagramban szereplő morfizmusok célja. Ha viszont nincsenek morfizmusok, akkor Y-ra sincs szükség, és a diagramnak elegendő csak X-ből állnia. Valóban, ekkor a limesz ismét csupán egy tetszőleges izomorfizmus egy E objektumból X-be.
Megmutatható, hogy az eq ekvalizátormorfizmusok minden kategóriában monomorfizmusok. Ha a megfordítás is igaz, azaz a kategória minden monomorfizmusa előáll mint ekvalizátor, akkor a kategóriát regulárisnak nevezzük. A reguláris monomorfizmusok azok a morfizmusok, amik előállnak mint morfizmusok egy tetszőleges halmazának ekvalizátora. Bizonyos szakszövegekben a reguláris monomorfizmus fogalma szigorúbb, és azokat a morfizmusokat jelenti, amik előállnak mint két morfizmus ekvalizátora. Teljes kategóriákban a reguláris monomorfizmus ezen két különböző definíciója egybeesik.
A kategóriaelméletben is alkalmazható a differenciakernel fogalma: valamennyi preadditív kategóriában fennáll Eq(f, g) = Ker(f - g).
Ha egy kategóriában léteznek szálszorzatok (visszahúzások) és produktumok, akkor léteznek ekvalizátorok is.
Kapcsolódó cikkek
Koekvalizátor, a duális fogalom: az ekvalizátor definíciójában a nyilak megfordításával kapott fogalom. Visszahúzás: egy ekvalizátorok és produktumok használatával definiált limesz.
Jegyzetek
Fordítás
Források
Kategória:Halmazelmélet Kategória:Kategóriaelmélet