A közönséges differenciálegyenlet (KDE, angolul ODE) olyan differenciálegyenlet, amely egy egyváltozós differenciálható függvényre van felírva.

Egy olyan F(x, y, y′, y″, y‴, ..., y(n)) = 0 függvényegyenlet,Ezt az alakot a közönséges differenciálegyenlet implicit felírásának nevezzük. ahol az F függvény argumentumában az x független változó mellett egy ismeretlen y(x) függvény deriváltjai is megjelennek. A megoldásokat az olyan y(x) függvények jelentik, amelyeknél F minden x-re nullát vesz fel.

Gyakran használják dinamikus jelenségek modellezésekor, amikor is a független változó a t-vel jelölt idő.

Csoportosításuk Rend szerint n-edrendűnek nevezzük a differenciálegyenletet, ha a benne szereplő magasabbrendű deriváltak között az n-edik a legnagyobb. Példák: elsőrendű, másodrendű, negyedrendű. ○ Speciális elsőrendű közönséges differenciálegyenletek a szeparábilis differenciálegyenletek.

Függvénytípus szerint

Lineáris egy differenciálegyenlet, ha y (az ismeretlen függvény) és deriváltjai legfeljebb az első hatványon szerepelnek, és nem szerepel az egyenletben ilyen tényezők szorzata. Példák: elsőrendű lineáris, másodrendű lineáris. Ezen belül lehet homogén vagy inhomogén, illetve lehet állandó együtthatójú vagy nem állandó együtthatójú.

○ Homogén lineáris differenciálegyenlet (függő változóban homogén), ha lineáris, de nincs benne sem kizárólag az x-től függő, sem konstans tag. Példák: elsőrendű homogén lineáris, másodrendű homogén lineáris.

○ Inhomogén lineáris differenciálegyenlet, ha van benne konstans, vagy x-től függő tag. Példák: elsőrendű inhomogén lineáris, másodrendű inhomogén lineáris.

○ Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet, ha az egyenletben y-nak és összes deriváltjának az együtthatója konstans. Példák: elsőrendű állandó együtthatós homogén lineáris (ez a legegyszerűbb típus), másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris.

Nemlineáris, ha nem lineáris. Példák: , .

Néhány specialitás Bernoulli-féle differenciálegyenlet

A Bernoulli-féle differenciálegyenlet

alakú, ahol n ismert természetes szám (n ≠ 0, 1), p(x) és r(x) ismert függvények.

Ez egy közönséges egyismeretlenes elsőrendű nemlineáris differenciálegyenlet.

Riccati-féle differenciálegyenlet

A Riccati-féle differenciálegyenlet

alakú, ahol p(x), r(x) és h(x) ismert függvények.

Ez egy közönséges egyismeretlenes elsőrendű, legfeljebb másodfokú differenciálegyenlet. Speciális esetei a lineáris és a Bernoulli-féle differenciálegyenletek.

Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet

Az Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet egyismeretlenes másodrendű közönséges differenciálegyenlet-típus:

,

ahol r(x) ismert függvény, és pedig ismert állandók.

Megoldásuk A megoldást szokás a differenciálegyenlet integráljának is nevezni. Analitikusan a megoldás lehet általános vagy partikuláris, illetve reguláris vagy szinguláris. Alkalmazásokban gyakran numerikusan megoldásokat keresnek, például a Runge–Kutta-módszerrel. Irodalom Scharnitzky Viktor: Differenciálegyenletek (Műszaki, 1997) Bolyai-sorozat, 4. kiadás. Tóth János és Simon Péter: Differenciálegyenletek (Typotex, 2005) L. Sz. Pontrjagin: Közönséges differenciálegyenletek (Typotex reprint kiadás, 2012) V.I. Arnold: Közönséges differenciálegyenletek (Műszaki könyvkiadó, 1987) Kósa András: Differenciálegyenletek (Tankönyvkiadó 1968) V.V. Sztyepanov: A differenciálegyenletek tankönyve (Tankönyvkiadó 1952)

Jegyzetek

Külső hivatkozások

Közönséges differenciálegyenletek – Szegedi Tudományegyetem, Fizikus Tanszékcsoport

Kategória:Differenciálegyenletek