Felszínnek nevezzük a testek egyik jellemzőjét. Hétköznapi értelemben a test határfelületeinek összes területét értjük alatta, ilyen módon a soklapok (poliéderek) testhálójával áll szoros kapcsolatban. Sok természeti folyamat is a megfelelő testek felszínével áll kapcsolatban.
Definíció
A felszín definíciója több irányból is megközelíthető, ezek azonban ugyanarra az eredményre kell vezessenek. Matematikai értelemben a felszínt valójában függvénynek kell tekinteni, mivel az egyes testekhez számértéket egyértelműen rendel.
Elemi meghatározás Ha a testről a határait "leválasztjuk", és azt síkidomba terítjük, az így kapott ponthalmaz területét nevezzük a test felszínének. Ez az eljárás poliéderek és egyes görbe felületű testek esetén működőképes, azonban sok test felszínének meghatározására kevéssé alkalmas.
A meghatározás előnye, hogy rendkívül szemléletes, és megfelel a technikai alkalmazásoknak. Hátránya éppen a fent említett korlátozottság.
Geometriai megközelítés Poliéderek esetén a határoló síklapok területének összegét értjük a test felszíne alatt. Ez megfelel a testháló, mint síkidom területének. Ha a test síkba fejthető (van testhálója), akkor a megfelelő síkidom területét értjük felszín alatt. Egyéb esetekben a testet belülről és kívülről burkoló poliédersereg felszínének határértékét tekintjük a test felszínének, amennyiben a kettő létezik és megegyezik.
Utóbbi esetet a gömb felszínének meghatározásakor szokás legjellemzőbben alkalmazni.
Analitikus értelmezés A felszín naiv fogalmából az analízis segítségével igen precíz definíció alkotható meg. Testnek tekintjük az Rn-beli zárt, egyszeresen összefüggő halmazt. Ennek határpontjai alkotják a test felszínét, mint halmazt, és a halmaz mértékét nevezzük a test felszínének. Ez alapján a test felszíne általában integrálással határozható meg.
Kiszámítása
Egyszerű testek
Egyszerű testeknek tekintjük a poliédereket és a egyenes szakaszokból származtatható forgástesteket, valamint a gömböt. Ezek esetében könnyen kezelhető, megjegyezhető képletek állnak rendelkezésre a felszín meghatározásához.
Az egyszerű testekből, azok összeillesztésével, néhány további testnek is számítható a felszíne.
Általános számítás Ha a testet az F(x,y,z) függvény írja le, akkor a felszínét az F(x,y,z)=0 egyenlet, amit átrendezve a z(x,y)=0 egyenletet kapjuk. Ennek integrálja lesz a felszín: az általános képlet és a konkrét érték.
Az integrál ilyen formában történő kiszámítása sok esetben nehezen kivitelezhető, ilyenkor érdemes a változókat megfelelő módon paraméterezni.
Speciálisan a forgástestek felszíne egyszerűbben is számolható, feltéve, hogy a tengelyüket a koordináta-rendszer x-tengelye alkotja. Ekkor ugyanis az függvény ívhosszát kell tudnunk kiszámolni, mivel ennek forgatása jelenti a test felszínét. Ekkor a felszínt az alábbi integrál írja le:
Néhány test felszíne Test Jellemző paraméter(ek) Felszín meghatározása Kocka e élhossz Téglatest w szélességl hosszúságh magasság Henger r sugárh magasság Egyenes körkúp c alkotór alapkör sugara Gömb r sugár
Mértékegység
A felszín az SI mértékegységrendszerben a hosszúságból leszármaztatott mennyiség, dimenziója hosszúság2: dim(S)=L2. Ennek megfelelően a mértékegysége [S]=''m2.
A kisebb és nagyobb egységek esetén a szülő dimenzió átváltási arányának négyzete az átváltási arány, hogy ez a matematikai eszközök használata közben ne okozzon problémát. A váltási arányok SI esetén: km2 m2 cm2 mm2 km2= 1 m2= 1 cm2= 1 100 mm2= 1
Megjegyzések
Források
További információ Integrál Mérték
Kategória:Geometria