Egy Auerbach-bázis a lineáris algebrában és funkcionálanalízisben egy normált vektortér lineárisan független részhalmaza, ami megfelel bizonyos tulajdonságoknak. Nevezetesen:
Legyen normált vektortér; ekkor Auerbach-bázisa -nek, ha: Az halmaz lineáris burka sűrű -ben; Minden esetén , ahol a halmaz lineáris burkának lezártja; elemei lineárisan függetlenek egymástól; ez a feltétel következik az előbbiektől.
Egy Auerbach-bázis normált Auerbach-bázis, ha minden elemének normája 1. Motiváció és történet Minden véges dimenziós Hilbert-térben akkor és csak akkor teljesül , ha az vektor iránya normális a által generált altérre. Ebben az értelemben a normált Auerbach-bázis az ortonormális bázis fogalmának általánosítása.
Auerbach 1929-ben írt értekezésében definiálta a fogalmat. Stefan Banach egy 1932-ben írt monográfiája megemlítette ezt a disszertációt. Ekvivalens definíciók Egy X Banach-térben egy A halmaz pontosan akkor normált Auerbach-bázis, ha: . minden -ra minden esetén létezik -en értelmezett folytonos lineáris funkcionáloknak egy halmaza úgy, hogy minden esetén. Itt a Kronecker-delta. minden -re. A Hahn–Banach-tétellel bizonyítható.
Véges dimenziós esetben az első két feltétel azt jelenti, hogy ez egy lineárisan független halmaz. Az Auerbach-lemma szerint véges dimenziós normált vektortérben mindig létezik Auerbach-bázis.
Források Herman Auerbach: O polu krzywych wypukłych o średnicach sprzężonych (Über Flächen von konvexen Kurven mit konjugierten Durchmessern), Dissertation an der Universität Lwów (1929; auf polnisch). Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires. Monografie matematyczne, herausgegeben von M. Garasiński, Warschau 1932. Bartoszyński et al.: On bases in Banach spaces. Studia Math. 170 (2005), no. 2, 147–171. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg/New York 2005,
Fordítás
Kategória:Lineáris algebra Kategória:Funkcionálanalízis