A komplex analízis területén a Hardy-tér olyan egységkörben (azaz az egységkörlapon) vagy felső félsíkon definiált holomorf függvények tere, amelyeknek az értelmezési tartomány peremén értelmezett -normája korlátos. Riesz Frigyes vezette be 1923-ban, Godfrey Harold Hardy 1915-ös cikkéből kiindulva.
A valós analízisben a Hardy-tér olyan valós számegyenesen definiált disztribúciók tere, melyek komplex Hardy-terek holomorf függvényeinek peremértékeinek felelnek meg. Ha legalább 1, akkor a Hardy-terek a funkcionálanalízisben használt Lp-terek bizonyos részhalmazainak tekinthetők.
A Hardy-terek jelentősek a matematikai analízis területén, továbbá az irányítástechnikában és a szóráselméletben.
Hardy-terek az egységkörben Definíció Legyen a komplex egységkörlap. Adott pozitív valós -re a Hardy-tér olyan egységkörlapon definiált holomorf függvények vektortere, melyekre a következő teljesül:
.
Az egyenlőtlenség bal oldala esetén egy norma, melyet általában -vel jelölnek. A -norma növekszik -vel a Hölder-egyenlőtlenség következtében.
A -vel jelölt Hardy-tér olyan egységkörlapon definiált holomorf függvények vektortere, melyek a
normára tekintve korlátosak.
Ha , akkor valós részhalmaza -nek.
Kiterjesztés az egységkörvonalra Az egységkörlapon definiált Hardy-terek kiterjeszthetők az egységkörvonalra a következőképp: legyen a komplex egységkör és , ahol . Ekkor a következő határérték majdnem minden -re létezik:
továbbá az egységkörön definiált függvény -normája megegyezik -vel. 110–111.o.
Továbbá, megfeleltethető egy zárt lineáris alterének: egy adott függvény akkor és csak akkor eleme -nek, ha az Poisson-integrálja egy függvénynek, tehát
továbbá ha negatív Fourier-együtthatói, tehát a
kifejezések bármely egész számra nullák. III. 3.12.
Hardy-terek a felső félsíkon Legyen a felső komplex félsík. A Hardy-tér olyan holomorf függvények tere, melyekre teljesül:
.
Az egyenlőtlenség bal oldala szintúgy egy norma, jelölés szerint . Abban az esetben, amikor , a norma a következő: .
Amikor általánosságban van szó Hardy-terekről, a szöveg kontextusából nyilvánvalóvá válik, hogy mi a térben levő függvények értelmezési tartománya, így a -tér és a -tér helyett a -tér jelölés a legelterjedtebb.
Valós Hardy-terek Definíció Legyen Schwartz-függvény -en, melynek integrálja 1, pedig egy Dirac-sor. Adott esetén olyan disztribúciók tere, amelyekre a következőképp definiált maximálfüggvény:
az tér eleme, ahol a a konvolúció műveletét jelöli. 87.o. A térhez tartozó -kvázinorma definíció szerint , mely esetén teljesíti a norma definícióját, azonban -re nem teljesíti a szubadditivitás axiómáját, tehát nem norma. Fontos azonban megjegyezni, hogy már szubadditív 1-nél kisebb -re, így egy metrikát definiál -n, amely meghatározza a topológiáját és egy teljes metrikus térré teszi. 100.o.
Abban az esetben, amikor , akkor az - és -terek megegyeznek, a normáik pedig ekvivalensek. Amennyiben , akkor valós részhalmaza -nek, azonban nem zárt benne és a normáik sem ekvivalensek. 91.o.
Atomos technika Ha , a valós Hardy-terek különböznek az -terektől, viszont könnyebben hasznosíthatóak a harmonikus analízisben, ugyanis elemei felbonthatóak egyszerűbb függvények összegeire. Ezeket a függvényeket atomoknak hívjuk, és számos Hardy-terek elemeivel kapcsolatos megállapítást elegendő az atomok szintjén bizonyítani. -atomnak hívunk egy olyan függvényt, ha létezik egy olyan golyó, melynek részhalmaza tartója, tehát az értelmezési tartományának azon pontjainak halmazának lezártja, melyeken nemnulla értéket vesz fel; továbbá ha majdnem mindenütt, és minden olyan -ra, melynek abszolút értéke nem nagyobb -nél. Az első két feltétel garantálja, hogy
,
a harmadik feltétel pedig biztosítja, hogy egy adott konstansra teljesül 105−106.o.
.
Minden függvényre esetén teljesül, hogy felbontható atomok végtelen sorára, tehát
,
ahol atomok halmaza, pedig olyan komplex számok sorozata, melyre . Az -et leíró sor a disztribúciók értelmében konvergens, továbbá a következő is teljesül: 106−107.o.
Fontos megjegyezni, hogy esetén nem garantált, hogy az atomok által definiált sor -ben konvergál, 112.o. azonban lehetséges úgy módosítani a módszert, hogy egy tetszőleges valós Hardy-tér eleme is felbontható legyen. 185.o.
Jegyzetek
Fordítás
Források
Kategória:Komplex analízis Kategória:Funkcionálanalízis