Az írásbeli osztás egy algoritmus arra, hogy írásban elosszanak egy számot egy másikkal. Az algoritmus az egyszeregyre és az írásbeli kivonásra épül.
A számológépek elérhetősége óta az eljárás jelentősége csökkent; csak az oktatásban fontos tananyag a 4. osztálytól kezdve. Először még csak egyjegyű számokkal osztanak, majd 5. osztályban visszatérnek rá, és osztanak többjegyű számokkal, majd tizedestörtet tizedestörttel is. Egyes országokban vitatott, hogy helye van-e a közoktatásban.Siehe zum Beispiel Peter Bender, Uni Paderborn (PDF; 87 kB) - mit weiteren Literaturangaben Leírás Bejövő adatok: Az osztandó, a szám, amit elosztanak egy másikkal Az osztó, amivel osztanak
Kimenet: Maradékos osztás, bennfoglalás esetén a hányados és a maradék, melyek természetes számok Nem maradékos osztás esetén a hányados, ami tizedestört alakban felírt racionális szám
Az eljárás: Előkészítő lépések: 1. A papírra felírjuk a feladatot, osztandó : osztó alakban 2. Meghatározzuk az osztó jegyeinek számát, és leválasztunk ugyanennyi jegyet az osztandóból. Ha ez a leválasztott szám kisebb az osztónál, akkor hozzáveszünk még egy számjegyet. Alternatívan nem módosítunk a leválasztott számon. 3. Meghatározzuk, hány jegyből áll a hányados, vagy annak egészrésze. Ehhez megszámoljuk az osztandó többi jegyeit, és hozzáadunk egyet. Előkészítjük a helyet a hányados számára. Általános lépések: 4. A leválasztott számot maradékosan osztjuk az osztóval. Ez azt jelenti, hogy megkeressük azt a legnagyobb egyjegyű számot, ami megvan a leválasztott számban; ez lesz a hányados következő jegye. Hogyha az osztó nagyobb, mint a leválasztott szám, akkor a következő jegy a nulla. Amennyiben az első lépésben nem módosítottunk a leválasztott számon, pedig az kisebb az osztónál, úgy a hányadost vezető nullával kapjuk. 5. Képezzük a maradékot is, amit megkapunk visszaszorzással és kivonással. A visszaszorzást leírhatjuk, a kivonást leírhatjuk, de a maradékot leírjuk a leválasztott szám alá úgy, hogy a megfelelő helyi értékek egymás alá kerüljenek. 6. Az így kapott maradékhoz hozzáírjuk az osztandó következő jegyét. A következő műveletben ez lesz a leválasztott szám. Lezárás: 7. Ezeket az általános lépéseket ismételjük addig, amíg az osztandó (egészrésze) végére nem érünk. Ha maradékos osztást végzünk, akkor a kapott hányados lesz a hányados, a maradék pedig az utolsó maradék. Különben kitesszük a tizedesvesszőt, és folytatjuk az osztást, amihez felhasználjuk az osztandó tizedesjegyeit. Ha egész számot osztunk, vagy kifogytunk a tizedesjegyekből, akkor nullával egészítjük ki az aktuális maradékot. Az osztást folytathatjuk megadott pontosságig, vagy egy szakasz végéig. Példák Maradékos osztás egyjegyű osztóval A 351-et osztjuk 4-gyel. A 351 az osztandó, a 4 az osztó. Maradékosan osztunk.
+ A 351 4-gyel való osztásának bemutatása Lépés Magyarázat 1 351 : 4 = 2 A 3-at leválasztjuk a 351-ről, marad 51. 3 A 4 legnagyobb szorzata, ami nem nagyobb, mint 3, a 0. A szorzótáblában a következő szorzat 4, ami több, mint 3. 4 A hányados első jegyeként leírjuk a nullát. A visszaszorzás eredménye 0, amit kivonunk 3-ból, marad a 3. 5 351 : 4 = 0 0 - 3 6 Az osztandónak még vannak fel nem használt jegyei, ezek alkotják az 51 számot. Az osztandó következő jegye 5, amivel kiegészítjük a maradékot, így kapjuk a 35-öt. 3 A szorzótáblában a legnagyobb 35-nél nem nagyobb szorzat a 32. 4 A szorzótáblában a 32-höz a 8 tényező tartozik. Hozzáírjuk a hányadoshoz, ami így 08. 5 Kivonjuk a 35-ből a 32-t, marad a 3. 6 Az osztandónak még van nem használt számjegye, ami az 1. Kiegészítjük a leválasztott számot, így kapjuk a 31-et. 3 A legnagyobb 31-nél nem nagyobb szorzat a szorzótáblában a 28. 4 A 28-hoz a 7 tartozik a szorzótáblában. A 7-et hozzáírjuk az eddigi hányadoshoz, kapjuk a 087-et. 5 A 31-ből kivonjuk a 28-at, marad 3. 6 Az osztandó jegyei elfogytak, így a maradékos osztás véget ér. 7 351 : 4 = 087 -0 - 35 -32
31 -28
3 Hányadosként 087-et kapunk, maradékként 3-at. A vezető nullákat el szokás hagyni, így a hányados 87, a maradék 3.
Megjegyzések A hányados a 87, a maradék 3 nem egy szám, és nem is egyenlőség. A 438 : 5 hányadosa is 87 és maradéka is 3, de az eredmény nem ugyanaz a racionális szám.
A számolások azt mutatják, hogy mindkét osztásban marad egy 3 maradékként. Az első esetben 4-gyel osztottunk, a másodikban 5-el; így a maradék 3 kifejezésnek az előbbi esetben 3/4, a másodikban 3/5 felel meg. Az és számolások mutatják a különbséget. A maradékos osztás eredményeként a következő egyenlőségek írhatók fel törtekkel való számolás nélkül:
351 = 4 · …
A fenti algoritmus eredményeként kapjuk, hogy:
351 = 4 · 87 + 3
A második példa:
438 = 5 · 87 + 3
Így az általános iskolában tanult maradékos osztás összhangba kerül a számelmélettel és a magasabb matematika más területeivel. Többjegyű osztó Ha az osztó 10-nél nagyobb, akkor a szorzótábla már nem elégséges a következő jegy kiszámítására, így vagy segédtáblázatot készítünk, vagy pedig meg kell becsülnünk a következő jegyet. Ha a szorzat nagyobb, mint a leválasztott szám, akkor a becsült jegyet csökkentenünk kell. Ha a különbség nagyobb, mint az osztó, akkor a becsült jegyet növelni kell. A következő példa mellőzi ezeket a becslési hibákat.
13063:32 = 4… -128
26 -- marad 2; a maradékhoz hozzávett 6-ossal 26-ot kapunk; 26:32 eredménye 0:
13063:32 = 40…
Elvégezzük a 0·32=0 szorzást, és a számolást ezzel folytatjuk:
26 - 0
26
A gyakorlott számoló látja, hogy a 26 nem változik, emiatt nem írja le ezt a kivonást, hanem rögtön hozzáveszi a következő jegyet:
13063:32 = 40… -128
263 -- 263:32 = 8, 32×8 = 256 -256
A végén egy 7-es maradék képződik, így a teljes számolás így néz ki:
13063:32 = 408, marad 7 -128
263 -256
7
vagy , illetve , ahogy fent megmagyaráztuk. Maradék nélküli osztás Az eljárással nemcsak maradékos osztás végezhető, hanem a hányadost megkaphatjuk tizedestört alakban is. Ekkor az osztandó egyeseinek felhasználása után kitesszük a tizedesvesszőt, és folytatjuk a számolást. Ha az osztandó egész, illetve elfogytak a tizedesjegyek, akkor nullákkal egészítjük ki:
950 : 4 = 237,5 -8 - 15 -12
30 -28
20 -- marad 2; azonban ezt nem írjuk fel maradéknak, hanem kitesszük a tizedesvesszőt; az osztandó következő jegyeként a 0-t használjuk fel. -20 - 20:4 geht 5-mal…
0 -- …maradék nincs, úgyhogy az osztás véget ér. Tizedestört osztandó Az egész számok osztásától a tizedestörtek osztása annyiban tér el, hogy az egyesek elfogyása és a tizedesvessző kitétele után először a tizedesjegyeket használjuk fel, mielőtt még elkezdenénk nullákat írni. Ha az egészrész kisebb, mint az osztó, akkor a hányados egészrészébe nullát írunk, és elkezdjük felhasználni a tizedesjegyeket. Ezután osztunk a fentiek szerint.
Például:
1,8:5 = ?? ----- 1:5 nullaszor van meg – tehát az egészrész 0,... és felhasználjuk a tizedeket:
1,8:5 = 0,?? ----- 18:5 megvan 3-szor: 1 5
1,8:5 = 0,3? ----- A maradék 3 — következő tizedesjegyként 0- t használunk fel. 1 5
30 ----- 30:5 megvan 6-szor, és maradék nélkül; ezért a számítás véget ér:
1,8:5 = 0,36 1 5
30 -30
0 Tizedestört osztó Ha az osztó tizedestört, akkor az osztót és az osztandót is felszorozzuk a tíz megfelelő hatványával úgy, hogy az osztó egész szám legyen. Ez azt jelenti, hogy megszámoljuk az osztó tizedesjegyeit, elmozdítjuk a tizedesvesszőt ugyanennyi jeggyel az osztóban és az osztandóban is. Ha az osztandónak kevesebb tizedesjegye van, akkor nullákat írunk utána. Ezután úgy osztunk, ahogy fent már leírtuk:
4 : 1,6 = 40 : 16 = 2,5 -32
80 -80
0 Osztás periódusig Racionális számok hányadosa racionális. Ha az osztó egész, és prímtényezős szorzatában szerepel a 2-től és az 5-től különböző prím, akkor végtelen szakaszos tizedes törtet kapunk. Példánkban 1307-et osztunk 15-tel. 1307 : 15 = 8 -- 13:15 megvan nullaszor; 130:15 becslése 8; visszaszorzással 5·8=40, 1·8=8, hozzáadjuk a 4 átvitelt is, az eredmény 12: -120 -- A becslés helyes, a maradék 10; a 7-et kivonjuk:
107 -- Mivel 120=8·15, azért a 15 a 107-ben 7-szer lehet meg; a 7·15-öt úgy számoljuk ki, mint az előbb;
ezzel az eddigi számolás: 1307 : 15 = 87 -120
107 -105
2
Az osztandó végére értünk, így kitesszük a tizedesvesszőt, a maradékot 0-val egészítjük ki, és számolunk tovább. 20:15 megvan 1-szer, a maradék 5: 1307 : 15 = 87,1 -120
107 -105
20 -15
5
Hozzáfűzzük a 0-t, kapunk 50-et. 50 osztva 15-tel 3, marad 5. 1307 : 15 = 87,13 -120
107 -105
20 -15
50 -45
5 Megkaptunk egy olyan maradékot, ami már szerepelt. Mivel mindig a 0 jeggyel egészítjük ki, azért a hányados és a maradék is ugyanaz lesz, mint korábban. Ez azt jelenti, hogy egy szakasz végére értünk. Az eredményként kapott végtelen szakaszos tizedestört:
1307 : 15 = 87,1333…
Írásmódja rendszerint , vagy pedig felülvonás helyett pontot használunk. Fejlettebb számolás Az emlékezetet jobban megterheli, de helyet spórol, ha a visszaszorzás eredményét és annak kivonását nem írjuk le, csak a különbséget. A kompaktabb írásmódot fenti példáink közül kettőn mutatjuk be.
Egyjegyű osztó Az első példánk a tömörebb írásmóddal és kommentárokkal: 351 : 4 =
Induláskor annyi jegyet választunk le, amennyiben már megvan legalább egyszer az osztó, ezzel elkerüljük a vezető nullákat: 35'1 : 4 = ((Az aposztróf segít látni a leválasztott számot.))
A 4 8-szor van meg a 35-ben. 35'1 : 4 = 8 A hozzá tartozó szöveg: Mert 8-szor 4 az 32, leírom a 8-at, marad a 3. A visszaszorzást és a kivonást fejben végezzük, csak a hányadost és a maradékot írjuk le:
35'1 : 4 = 8 3
Érkezik a következő jegy:
35'1 : 4 = 8 3 1
A 4 7-szer van meg a 31-ben,
35'1 : 4 = 87 mert 7-szer 4 az 28, leírom a 7-et, marad a 3. 3 1 3 - ez a maradék Többjegyű osztó A rövidített írásmód többjegyű osztóval is használható. A visszaszorzást és a kivonást fejben végezzük, csak a hányados következő jegyét és a maradékot írjuk le. Ha az osztó túl hosszú, akkor ezeket a műveleteket nem lehet már fejben elvégezni, hanem valahová le kell írni. A kivonás végezhető a szorzással párhuzamosan is, ekkor nem adjuk össze az egyes részszorzatokat, hanem egyenként vonjuk ki őket. A fenti második példában: 13063:32 = vagy az aposztróffal: 130'63:32 = 4… Most ki kell számolnunk a 4·32 szorzatot, és ki kell vonni a 130-ból: 130'63:32 = 4… 2 - 1 kölcsönvéve A visszaszorzás 4·3 = 12; ehhez még hozzáadjuk a kölcsönvett 1-et, így kapjuk a 13-at. Ehhez még hozzá kell adni 0-t, így a végösszeg 13. Ezt a nullát nem írjuk le, hanem egyszerűen csak hozzávesszük a következő jegyet a leválasztott számhoz, ami példánkban a 6. A hányadoshoz beírjuk a 0-t, majd a leválasztott számhoz hozzávesszük az osztandó következő jegyét is, ami példánkban a 3. Ekkor a papíron ez látszik: 130'63:32 = 40 2 63 Mivel 263:32 8-at ad eredményül, azért 8-cal szorzunk vissza. Kiszámoljuk a 8·32-t, ami 256; ezt le is vonjuk a 263-ból: 8·2=16, 16 plusz 7 =23. Leírjuk a 7-et, és kölcsönveszünk 2-t: 130'63:32 = 408 2 63 7 A visszaszorzás 8·3 = 24-et ad, amihez hozzávesszük a kölcsönvett 2-t, így jutunk a 26-hoz; ehhez még hozzáadunk 0-t, a végeredmény 26. A 0-t nem írjuk le. A maradékos osztás itt véget is ért: 13063:32 = 408 263 7 Alternatív algoritmusok Angol nyelvterületen qaz általános iskolákban tanítják a nagy hetes osztást, angol néven a Big 7 Divisiont, ami a Scaffolding algoritmust hívja segítségül. Ezt a módszert gyakrabban is használják, és megemlítik, hogy az írásbeli osztás elvégezhető egyszerű tízes lépésekben vagy az osztó tetszőleges többszöröseivel és az ismételt kivonás elvét érthetőbbé teszi. A Big 7 elnevezés az elválasztó vonalak formájára utal.
Példaként tekintsük a 4720:36 osztást:
┌────────────┐ 36│ 4720 │ −3600 │ 100 =1120 │ − 360 │ 10 = 760 │ − 360 │ 10 = 400 │ − 360 │ 10 = 40 │ − 36 │ 1
= 4 131 R4/36 (a 36 a fenti osztó, R4 a bal oszlopban kivont eredmény, 131 a hozzáadott jobb oszlop)